在机器学习领域，降维是一种重要的数据预处理技术，它可以帮助减少数据的复杂性，同时尽可能保留原始数据的重要信息。本文将介绍一种名为邻域成分分析（NCA）的降维方法，并将其与主成分分析（PCA）和线性判别分析（LDA）进行比较。
使用的数据集是手写数字数据集，该数据集包含了从0到9的数字图像，每个类别大约有180个样本。每个图像的尺寸为8x8，即64个特征，目标是将其降维到二维空间中。
首先，来看主成分分析（PCA）。PCA是一种无监督的降维方法，它通过识别数据中变化最大的方向（即主成分）来降低数据的维度。在本例中，将使用PCA将数据投影到前两个主成分上。
接下来是线性判别分析（LDA），与PCA不同，LDA是一种有监督的降维方法。LDA的目标是找到一个特征空间，使得不同类别之间的分离度最大化。这意味着LDA在降维的同时，还会考虑类别标签的信息。
最后，介绍邻域成分分析（NCA）。NCA也是一种有监督的降维方法，它旨在找到一个特征空间，使得随机最近邻算法在这个空间中的表现最佳。与LDA类似，NCA在降维过程中也会利用类别标签的信息。
通过比较这三种方法，可以发现NCA在降维后的数据聚类效果上具有明显的优势，即使在大幅度降低维度的情况下，NCA仍然能够保持数据的可视化意义。
以下是使用Python和scikit-learn库实现上述三种降维方法的示例代码。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn import datasets
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
from sklearn.neighbors import NeighborhoodComponentsAnalysis
from sklearn.pipeline import make_pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
n_neighbors = 3
random_state = 0
# 加载手写数字数据集
X, y = datasets.load_digits(return_X_y=True)
# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
X, y, test_size=0.5, stratify=y, random_state=random_state)
dim = len(X[0])
n_classes = len(np.unique(y))
# 使用PCA进行降维到2维
pca = make_pipeline(StandardScaler(), PCA(n_components=2, random_state=random_state))
# 使用LDA进行降维到2维
lda = make_pipeline(StandardScaler(), LinearDiscriminantAnalysis(n_components=2))
# 使用NCA进行降维到2维
nca = make_pipeline(StandardScaler(), NeighborhoodComponentsAnalysis(n_components=2, random_state=random_state))
# 使用最近邻分类器评估这些方法
knn = KNeighborsClassifier(n_neighbors=n_neighbors)
# 将方法列表化以便比较
dim_reduction_methods = [("PCA", pca), ("LDA", lda), ("NCA", nca)]
for i, (name, model) in enumerate(dim_reduction_methods):
plt.figure()
# 拟合模型
model.fit(X_train, y_train)
# 在嵌入的训练集上拟合最近邻分类器
knn.fit(model.transform(X_train), y_train)
# 在嵌入的测试集上计算最近邻的准确率
acc_knn = knn.score(model.transform(X_test), y_test)
# 使用拟合的模型将数据集嵌入到2维
X_embedded = model.transform(X)
# 绘制投影点并显示评估分数
plt.scatter(X_embedded[:, 0], X_embedded[:, 1], c=y, s=30, cmap="Set1")
plt.title(f"{name}, KNN (k={n_neighbors})\nTest accuracy = {acc_knn:.2f}")
plt.show()
通过上述代码，可以清楚地看到每种降维方法的效果，并比较它们在最近邻分类器上的性能。
邻域成分分析（NCA）是一种有效的降维技术，它能够在保持数据可视化意义的同时，大幅度降低数据的维度。通过与PCA和LDA的比较，可以看到NCA在某些情况下具有更好的性能。