在机器学习领域，最近邻分类是一种简单而有效的分类方法。它通过计算待分类点与已知类别点之间的距离，将待分类点归类到最近的已知类别点的类别。然而，这种方法在高维空间中可能会遇到性能下降的问题。为了解决这一问题，邻域成分分析（Neighborhood Components Analysis, NCA）被提出，它旨在通过线性变换来优化最近邻分类器的性能。
邻域成分分析的核心思想是找到一个线性变换，使得在变换后的特征空间中，最近邻分类器的分类准确率最大化。这种变换是通过优化一个目标函数来实现的，该函数衡量了分类器在训练集上的随机最近邻分类准确率。
为了比较使用和不使用邻域成分分析的最近邻分类器，可以绘制出在原始特征空间和变换后特征空间中的类决策边界。这可以通过使用欧几里得距离来实现，首先在原始特征空间中计算距离，然后在邻域成分分析学习到的变换后的特征空间中计算距离。
在下面的代码示例中，使用了Python的scikit-learn库来实现这一比较。首先，导入了必要的模块，包括matplotlib用于绘图，sklearn中的datasets、model_selection、neighbors和pipeline等模块用于数据处理和模型训练。然后，加载了Iris数据集，并选择了其中的两个特征进行分析。接着，使用train_test_split函数将数据集分为训练集和测试集。
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier, NeighborhoodComponentsAnalysis
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.colors import ListedColormap
# 加载数据集
dataset = datasets.load_iris()
X, y = dataset.data[:, [0, 2]], dataset.target
# 分割数据集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, stratify=y, test_size=0.7, random_state=42)
# 创建颜色映射
cmap_light = ListedColormap(['#FFAAAA', '#AAFFAA', '#AAAAFF'])
cmap_bold = ListedColormap(['#FF0000', '#00FF00', '#0000FF'])
# 定义分类器
classifiers = [
Pipeline([
('scaler', StandardScaler()),
('knn', KNeighborsClassifier(n_neighbors=1))
]),
Pipeline([
('scaler', StandardScaler()),
('nca', NeighborhoodComponentsAnalysis()),
('knn', KNeighborsClassifier(n_neighbors=1))
])
]
# 训练分类器并绘制决策边界
for clf in classifiers:
clf.fit(X_train, y_train)
score = clf.score(X_test, y_test)
_, ax = plt.subplots()
# 绘制决策边界
# 绘制训练和测试点
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=cmap_bold, edgecolor='k', s=20)
plt.title(f"{clf.named_steps['knn'].n_neighbors}-NN (k = {clf.named_steps['knn'].n_neighbors})")
plt.text(0.9, 0.1, f"{score:.2f}", size=15, ha="center", va="center", transform=plt.gca().transAxes)
plt.show()
在上述代码中，首先定义了两个Pipeline，一个用于普通最近邻分类器，另一个用于经过邻域成分分析变换后的最近邻分类器。然后，对每个分类器进行训练，并使用DecisionBoundaryDisplay.from_estimator函数来绘制决策边界。同时，还绘制了训练和测试点，以便于观察分类效果。
通过比较两个分类器的决策边界，可以直观地看到邻域成分分析对最近邻分类器性能的影响。在某些情况下，使用邻域成分分析可以显著提高分类器的准确率，尤其是在特征空间不是线性可分的情况下。
总的来说，邻域成分分析是一种有效的特征变换方法，可以提高最近邻分类器在复杂数据集上的性能。通过上述代码示例，可以清楚地看到使用和不使用邻域成分分析的最近邻分类器在决策边界上的差异。
在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的分类器。如果数据集的特征空间是线性可分的，那么普通最近邻分类器可能就足够了。然而，如果特征空间较为复杂，或者希望进一步提高分类器的性能，那么使用邻域成分分析进行特征变换可能是一个更好的选择。
此外，邻域成分分析还可以与其他分类器结合使用，例如支持向量机（SVM）或决策树，以提高这些模型的性能。通过这种方式，可以充分利用邻域成分分析在特征变换方面的优势，为各种机器学习任务提供更强大的分类器。