流形学习是一种降维技术，它旨在在低维空间中保持数据的内在结构。本文将探讨不同的流形学习方法如何应用于一个球面数据集。在这个数据集中，移除了球体的两极以及侧面的一个薄片，以便流形学习技术能够在二维空间中展开并投影这个数据集。这种技术类似于地球的平面地图投影，其中需要将三维的地球表面映射到二维平面上。
在流形学习中，多维尺度分析（MDS）的目标是找到一个低维表示（本例中为2D），使得这个低维空间中的距离能够很好地反映原始高维空间中的距离。与其他流形学习算法不同，MDS并不寻求在低维空间中得到数据的各向同性表示。这里的流形问题与表示地球的平面地图非常相似，例如地图投影标准。
以下是一些流形学习方法在球面数据集上的应用实例，包括执行时间:
from time import time
import matplotlib.pyplot as plt
import mpl_toolkits.mplot3d # noqa: F401
import numpy as np
from matplotlib.ticker import NullFormatter
from sklearn import manifold
from sklearn.utils import check_random_state
# 流形学习变量
n_neighbors = 10
n_samples = 1000
# 创建球体
random_state = check_random_state(0)
p = random_state.rand(n_samples) * (2 * np.pi - 0.55)
t = random_state.rand(n_samples) * np.pi
# 移除球体的两极
indices = (t < (np.pi - (np.pi / 8))) & (t > ((np.pi / 8)))
colors = p[indices]
x, y, z = (np.sin(t[indices]) * np.cos(p[indices]),
np.sin(t[indices]) * np.sin(p[indices]),
np.cos(t[indices]))
# 绘制数据集
fig = plt.figure(figsize=(15, 8))
plt.suptitle("流形学习 %i 个点, %i 个邻居" % (1000, n_neighbors), fontsize=14)
ax = fig.add_subplot(251, projection="3d")
ax.scatter(x, y, z, c=colors, cmap=plt.cm.rainbow)
ax.view_init(40, -10)
# 执行局部线性嵌入流形学习
methods = ["standard", "ltsa", "hessian", "modified"]
labels = ["LLE", "LTSA", "Hessian LLE", "Modified LLE"]
sphere_data = np.array([x, y, z]).T
for i, method in enumerate(methods):
t0 = time()
trans_data = (manifold.LocallyLinearEmbedding(n_neighbors=n_neighbors, n_components=2, method=method, random_state=42).fit_transform(sphere_data).T)
t1 = time()
print("%s: %.2g sec" % (methods[i], t1 - t0))
ax = fig.add_subplot(252 + i)
plt.scatter(trans_data[0], trans_data[1], c=colors, cmap=plt.cm.rainbow)
plt.title("%s (%.2g sec)" % (labels[i], t1 - t0))
plt.axis("tight")
# 执行t-分布随机邻域嵌入
t0 = time()
tsne = manifold.TSNE(n_components=2, random_state=0)
trans_data = tsne.fit_transform(sphere_data).T
t1 = time()
print("t-SNE: %.2g sec" % (t1 - t0))
ax = fig.add_subplot(2, 5, 10)
plt.scatter(trans_data[0], trans_data[1], c=colors, cmap=plt.cm.rainbow)
plt.title("t-SNE (%.2g sec)" % (t1 - t0))
plt.axis("tight")
plt.show()
上述代码展示了如何在Python中使用scikit-learn库来执行流形学习。首先创建了一个球面数据集，并移除了球体的两极。然后，使用不同的流形学习方法来处理这个数据集，并将结果投影到二维空间中。这些方法包括局部线性嵌入（LLE）、t-SNE等。每种方法的执行时间也被打印出来，以供参考。
通过这些方法，可以更好地理解数据的内在结构，并在低维空间中可视化高维数据。这对于数据探索和分析非常有用，尤其是在处理复杂数据集时。