在进行数据降维时，一个关键的考量因素是降维后的数据是否保留了原始数据的局部结构。局部结构的保留程度可以通过信任度（trustworthiness）这一指标来衡量。信任度是一个介于0到1之间的值，它量化了降维后数据的局部邻域与原始数据的局部邻域之间的相似性。信任度越高，说明降维后的数据在局部结构上与原始数据越相似，从而保留了更多的信息。
信任度的计算公式如下：
T(k) = 1 - \frac{2}{nk (2n - 3k - 1)} \sum^n_{i=1} \sum_{j \in \mathcal{N}_{i}^{k}} \max(0, (r(i, j) - k))
其中，对于每个样本i，\(\mathcal{N}_{i}^{k}\)表示在输出空间中的k个最近邻，而每个样本j在输入空间中是第r(i, j)个最近邻。简而言之，任何在输出空间中意外的最近邻都会根据其在输入空间中的排名受到相应的惩罚。
在实际应用中，需要指定一些参数来计算信任度。这些参数包括：
信任度的计算结果是一个浮点数，表示低维嵌入的信任度。这个指标可以帮助评估降维后数据的质量，特别是在需要保留局部结构的应用场景中，如图像识别、社交网络分析等。
在实际的编程实现中，可以使用Python的scikit-learn库来计算信任度。以下是一个简单的示例代码：
from sklearn.datasets import make_blobs
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.manifold import trustworthiness
# 生成模拟数据
X, _ = make_blobs(n_samples=100, n_features=10, centers=3, random_state=42)
# 进行PCA降维
X_embedded = PCA(n_components=2).fit_transform(X)
# 计算信任度
trust = trustworthiness(X, X_embedded, n_neighbors=5)
print(f"Trustworthiness: {trust:.2f}")
在这个示例中，首先生成了一组模拟数据，然后使用PCA进行降维，并计算了降维后数据的信任度。输出的信任度值可以帮助了解降维后数据的局部结构保留情况。