在机器学习领域，降维是一种减少数据集中特征数量的技术，旨在提取最重要的信息，同时去除噪声和冗余。本文将探讨三种流行的线性降维方法：主成分分析（PCA）、线性判别分析（LDA）和邻域成分分析（NCA），并展示它们在手写数字数据集上的应用效果。
手写数字数据集包含了从0到9的数字图像，每个类别大约有180个样本。每张图像的尺寸为8x8，即64个像素点。目标是将这些图像降维到二维空间，以便进行可视化和进一步分析。
主成分分析是一种无监督的降维方法，它通过识别数据中变化最大的方向（即主成分）来减少数据的维度。在手写数字数据集上应用PCA，可以找到两个主成分，它们能够解释数据中大部分的变化。通过在这两个主成分上绘制样本点，可以得到一个二维的可视化效果。
与PCA不同，线性判别分析是一种有监督的降维方法。它不仅考虑数据的变化性，还考虑了数据的类别标签。LDA的目标是找到一个特征空间，使得不同类别的数据点在这个空间中尽可能地分开。在手写数字数据集上应用LDA，可以得到一个二维的特征空间，其中不同数字的图像被清晰地区分开来。
邻域成分分析也是一种有监督的降维方法，它旨在找到一个特征空间，使得在这个空间中应用随机最近邻算法能够得到最佳的分类准确率。NCA的一个显著特点是，即使在大幅度降维的情况下，它也能够保持数据的聚类结构，使得数据点在二维空间中的分布具有直观的可解释性。
为了比较这三种方法的效果，使用了一个最近邻分类器来评估它们在降维后的数据集上的分类准确率。实验结果表明，尽管NCA在降维过程中损失了一些信息，但它仍然能够保持数据的聚类结构，从而在二维空间中得到一个具有视觉意义的分布。
以下是使用Python和scikit-learn库实现上述三种降维方法的代码示例：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn import datasets
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier, NeighborhoodComponentsAnalysis
from sklearn.pipeline import make_pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
n_neighbors = 3
random_state = 0
# 加载手写数字数据集
X, y = datasets.load_digits(return_X_y=True)
# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
X, y, test_size=0.5, stratify=y, random_state=random_state)
dim = len(X[0])
n_classes = len(np.unique(y))
# 使用PCA降维到2维
pca = make_pipeline(StandardScaler(), PCA(n_components=2, random_state=random_state))
# 使用LDA降维到2维
lda = make_pipeline(StandardScaler(), LinearDiscriminantAnalysis(n_components=2))
# 使用NCA降维到2维
nca = make_pipeline(StandardScaler(), NeighborhoodComponentsAnalysis(n_components=2, random_state=random_state))
# 使用最近邻分类器评估方法
knn = KNeighborsClassifier(n_neighbors=n_neighbors)
# 比较不同的降维方法
dim_reduction_methods = [("PCA", pca), ("LDA", lda), ("NCA", nca)]
for i, (name, model) in enumerate(dim_reduction_methods):
plt.figure()
model.fit(X_train, y_train)
knn.fit(model.transform(X_train), y_train)
acc_knn = knn.score(model.transform(X_test), y_test)
X_embedded = model.transform(X)
plt.scatter(X_embedded[:, 0], X_embedded[:, 1], c=y, s=30, cmap="Set1")
plt.title(f"{name}, KNN (k={n_neighbors})\nTest accuracy = {acc_knn:.2f}")
plt.show()
通过上述代码，可以在手写数字数据集上应用PCA、LDA和NCA三种降维方法，并使用最近邻分类器来评估它们的效果。实验结果表明，尽管NCA在降维过程中损失了一些信息，但它仍然能够保持数据的聚类结构，从而在二维空间中得到一个具有视觉意义的分布。