在多任务学习中，经常面临一个挑战，那就是如何确保在不同任务中选择的特征保持一致。本文通过一个模拟的例子来探讨这个问题。在这个例子中，模拟了一系列的时间序列数据，每个任务对应一个时间点，相关特征的振幅随时间变化，但特征本身是相同的。多任务Lasso回归要求在所有时间点上选择的特征是一致的，这使得通过Lasso进行的特征选择更加稳定。
本文的是Alexandre Gramfort，他隶属于法国国家信息与自动化研究所（INRIA），并持有BSD 3条款许可证。
首先，使用numpy库来生成一些具有随机频率和相位的正弦波形的二维系数。设定样本数量、特征数量和任务数量分别为100、30和40，并且设定有5个相关特征。通过随机数生成器，为每个相关特征生成了随时间变化的正弦波形。然后，创建了一个随机矩阵X，其维度为样本数量乘以特征数量，并计算了Y，即X与系数矩阵的点积，再加上一些随机噪声。
import numpy as np
rng = np.random.RandomState(42)
n_samples, n_features, n_tasks = 100, 30, 40
n_relevant_features = 5
coef = np.zeros((n_tasks, n_features))
times = np.linspace(0, 2 * np.pi, n_tasks)
for k in range(n_relevant_features):
coef[:, k] = np.sin((1.0 + rng.randn(1)) * times + 3 * rng.randn(1))
X = rng.randn(n_samples, n_features)
Y = np.dot(X, coef.T) + rng.randn(n_samples, n_tasks)
接下来，使用sklearn库中的Lasso和MultiTaskLasso类来拟合模型。对于Lasso，对每个任务分别进行拟合，并收集所有任务的系数。对于MultiTaskLasso，直接对所有任务进行拟合，并获取系数。
from sklearn.linear_model import Lasso, MultiTaskLasso
coef_lasso_ = np.array([Lasso(alpha=0.5).fit(X, y).coef_ for y in Y.T])
coef_multi_task_lasso_ = MultiTaskLasso(alpha=1.0).fit(X, Y).coef_
最后，使用matplotlib库来绘制系数矩阵的热图，以及真实系数和通过Lasso及MultiTaskLasso估计的系数的时间序列图。通过这些图表，可以直观地比较不同方法在特征选择上的稳定性和准确性。
import matplotlib.pyplot as plt
fig = plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.spy(coef_lasso_)
plt.xlabel("Feature")
plt.ylabel("Time (or Task)")
plt.text(10, 5, "Lasso")
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.spy(coef_multi_task_lasso_)
plt.xlabel("Feature")
plt.ylabel("Time (or Task)")
plt.text(10, 5, "MultiTaskLasso")
fig.suptitle("Coefficient non-zero location")
feature_to_plot = 0
plt.figure()
lw = 2
plt.plot(coef[:, feature_to_plot], color="seagreen", linewidth=lw, label="Ground truth")
plt.plot(coef_lasso_[:, feature_to_plot], color="cornflowerblue", linewidth=lw, label="Lasso")
plt.plot(coef_multi_task_lasso_[:, feature_to_plot], color="gold", linewidth=lw, label="MultiTaskLasso")
plt.legend(loc="upper center")
plt.axis("tight")
plt.ylim([-1.1, 1.1])
plt.show()
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