在机器学习领域，Lasso回归是一种常用的线性模型，它通过引入L1正则化来实现特征选择。当处理的数据特征数量远大于样本数量时，Lasso回归尤其有用。本文将探讨在稀疏数据和密集数据条件下，Lasso回归模型的性能差异。
首先，使用make_regression函数生成一个线性回归问题的数据集，其中样本数量为200，特征数量为5000，以确保问题适合使用Lasso回归。然后，将数据矩阵分别以密集格式和稀疏格式存储，并在每种格式上训练Lasso模型。记录了两种情况下的运行时间，并计算了它们学习到的模型系数之间的欧几里得距离，以验证模型的一致性。
在密集数据格式下，预期由于数据的密集性，使用密集数据格式的Lasso回归会有更好的运行时间。以下是实现这一比较的代码片段：
from time import time
from scipy import linalg, sparse
from sklearn.datasets import make_regression
from sklearn.linear_model import Lasso
# 生成线性回归问题的数据
X, y = make_regression(n_samples=200, n_features=5000, random_state=0)
# 将X转换为稀疏格式
X_sp = sparse.coo_matrix(X)
# 设置Lasso回归的参数
alpha = 1
sparse_lasso = Lasso(alpha=alpha, fit_intercept=False, max_iter=1000)
dense_lasso = Lasso(alpha=alpha, fit_intercept=False, max_iter=1000)
# 记录稀疏数据Lasso回归的运行时间
t0 = time()
sparse_lasso.fit(X_sp, y)
print(f"稀疏Lasso完成时间: {(time() - t0):.3f}s")
# 记录密集数据Lasso回归的运行时间
t0 = time()
dense_lasso.fit(X, y)
print(f"密集Lasso完成时间: {(time() - t0):.3f}s")
# 比较回归系数的差异
coeff_diff = linalg.norm(sparse_lasso.coef_ - dense_lasso.coef_)
print(f"系数之间的距离: {coeff_diff:.2e}")
实验结果显示，稀疏数据格式的Lasso回归在0.103秒内完成，而密集数据格式的Lasso回归在0.034秒内完成。这表明在密集数据条件下，密集数据格式的Lasso回归确实具有更快的运行时间。
接下来，通过将数据中的小值替换为0，使数据变得稀疏，并重复上述比较。由于数据现在是稀疏的，预期使用稀疏数据格式的Lasso回归会更快。以下是实现这一比较的代码片段：
# 复制之前的数据
Xs = X.copy()
# 将小于2.5的值替换为0，使数据变得稀疏
Xs[Xs < 2.5] = 0.0
# 将Xs转换为稀疏格式
Xs_sp = sparse.coo_matrix(Xs)
Xs_sp = Xs_sp.tocsc()
# 计算数据矩阵中非零系数的比例
print(f"矩阵密度: {(Xs_sp.nnz / float(X.size) * 100):.3f}%")
# 设置Lasso回归的参数
alpha = 0.1
sparse_lasso = Lasso(alpha=alpha, fit_intercept=False, max_iter=10000)
dense_lasso = Lasso(alpha=alpha, fit_intercept=False, max_iter=10000)
# 记录稀疏数据Lasso回归的运行时间
t0 = time()
sparse_lasso.fit(Xs_sp, y)
print(f"稀疏Lasso完成时间: {(time() - t0):.3f}s")
# 记录密集数据Lasso回归的运行时间
t0 = time()
dense_lasso.fit(Xs, y)
print(f"密集Lasso完成时间: {(time() - t0):.3f}s")
# 比较回归系数的差异
coeff_diff = linalg.norm(sparse_lasso.coef_ - dense_lasso.coef_)
print(f"系数之间的距离: {coeff_diff:.2e}")
实验结果显示，稀疏数据格式的Lasso回归在0.190秒内完成，而密集数据格式的Lasso回归在0.798秒内完成。这表明在稀疏数据条件下，稀疏数据格式的Lasso回归具有更快的运行时间。