在机器学习领域，Lasso回归是一种常用的线性模型，它通过引入L1正则化来实现特征选择。坐标下降法是一种有效的优化算法，用于计算Lasso回归的路径。本文将详细介绍坐标下降法在Lasso回归中的应用，包括优化函数的表达式、参数设置以及如何使用Python实现这一过程。
对于单输出任务，Lasso回归的优化函数为：
(1 / (2 * n_samples)) * ||y - Xw||^2_2 + alpha * ||w||_1
其中，||w||_1表示w的L1范数，即w中所有元素绝对值的和。对于多输出任务，优化函数稍有不同：
(1 / (2 * n_samples)) * ||Y - XW||^2_Fro + alpha * ||W||_21
这里，||W||_21表示W中每一行的L2范数的和，即对角线元素的平方和的平方根。
在使用坐标下降法计算Lasso回归路径时，需要设置多个参数，包括：
在Python中，可以使用scikit-learn库来实现Lasso回归的坐标下降法。以下是一个简单的示例代码：
import numpy as np
from sklearn.linear_model import lasso_path
# 假设X和y已经定义
X = np.array([[1, 2, 3.1], [2.3, 5.4, 4.3]]).T
y = np.array([1, 2, 3.1])
# 使用lasso_path计算系数路径
alphas, coefs, dual_gaps = lasso_path(X, y, alphas=[5., 1., 0.5])
# 打印结果
print(coefs)
这段代码首先导入了必要的库，然后定义了训练数据X和目标值y。接着，使用lasso_path函数计算了系数路径，并打印了结果。