正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit, OMP）是一种在信号处理和机器学习领域广泛使用的稀疏编码算法。它旨在找到一个稀疏解，使得观测数据可以被一组基向量的最佳线性组合近似表示。这种算法特别适用于解决具有大量特征的数据集，通过选择一小部分重要的特征来构建模型，从而提高模型的解释性和预测性能。
在数学上，OMP算法可以被描述为一个优化问题。给定输入数据矩阵X和目标向量y，希望找到一个系数向量gamma，使得y可以被X乘以gamma近似表示，同时gamma的非零元素数量尽可能少。这可以通过以下两种方式之一来实现：
argmin ||y - Xgamma||^2 subject to ||gamma||_0 <= n_{nonzero coefs}
或者，如果更关心误差的大小，可以通过设置一个容忍度（tol）来实现：
argmin ||gamma||_0 subject to ||y - Xgamma||^2 <= tol
在实际应用中，OMP算法的参数设置对于算法的性能至关重要。以下是一些关键参数的说明：
- X：输入数据矩阵，其列向量被假设为单位范数。
- y：目标向量，可以是一维数组或二维数组，取决于是否有多个目标。
- n_nonzero_coefs：解中非零元素的期望数量。如果未设置，默认为n_features的10%。
- tol：残差的最大平方范数。如果设置，将覆盖n_nonzero_coefs的设置。
- precompute：是否进行预计算，以提高在n_targets或n_samples非常大时的性能。
- copy_X：算法是否需要复制设计矩阵X。如果X已经是Fortran-ordered，则可以设置为False，否则会进行复制。
- return_path：是否返回正交匹配追踪过程中的每一步非零系数。这对于交叉验证非常有用。
- return_n_iter：是否返回迭代次数。
算法的输出包括：
- coef：OMP解的系数。如果return_path=True，则coef的形状为(n_features, n_features)或(n_features, n_targets, n_features)，迭代最后一个轴可以按活动特征的增加顺序生成系数。
- n_iters：每个目标的活动特征数量。仅当return_n_iter设置为True时返回。
正交匹配追踪算法的实现基于Rubinstein, R., Zibulevsky, M.和Elad, M.在2008年的技术报告中提出的K-SVD算法的高效实现。该算法在信号处理和机器学习领域有着广泛的应用，特别是在需要稀疏表示的场景中。
例如，可以使用scikit-learn库中的orthogonal_mp函数来实现OMP算法。以下是一个简单的示例：
from sklearn.datasets import make_regression
from sklearn.linear_model import orthogonal_mp
# 生成回归数据
X, y = make_regression(noise=4, random_state=0)
# 应用OMP算法
coef = orthogonal_mp(X, y)
# 查看系数的形状
print(coef.shape) # 输出: (100,)
# 计算X的第一列与系数的点积
print(X[:, 1] @ coef) # 输出: array([-78.68...])
通过这个示例，可以看到OMP算法如何被应用于回归问题，并且如何通过稀疏表示来提高模型的性能。