流形学习是一种非线性降维技术，它旨在在低维空间中保持数据点之间的相对距离。这种技术特别适用于那些在高维空间中线性不可分的数据集。在本页面中，将探讨如何使用不同的流形学习方法来处理S曲线数据集，并可视化其结果。
首先，需要生成S曲线数据集。S曲线是一个非线性结构，非常适合用来展示流形学习算法的效果。使用Python的matplotlib库来生成数据，并定义了一些辅助函数来帮助进行后续的可视化。
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import ticker
from sklearn import datasets, manifold
n_samples = 1500
S_points, S_color = datasets.make_s_curve(n_samples, random_state=0)
def plot_3d(points, points_color, title):
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6), facecolor="white", tight_layout=True, subplot_kw={"projection": "3d"})
fig.suptitle(title, size=16)
col = ax.scatter(x, y, z, c=points_color, s=50, alpha=0.8)
ax.view_init(azim=-60, elev=9)
ax.xaxis.set_major_locator(ticker.MultipleLocator(1))
ax.yaxis.set_major_locator(ticker.MultipleLocator(1))
ax.zaxis.set_major_locator(ticker.MultipleLocator(1))
fig.colorbar(col, ax=ax, orientation="horizontal", shrink=0.6, aspect=60, pad=0.01)
plt.show()
def plot_2d(points, points_color, title):
fig, ax = plt.subplots(figsize=(3, 3), facecolor="white", constrained_layout=True)
fig.suptitle(title, size=16)
add_2d_scatter(ax, points, points_color)
plt.show()
def add_2d_scatter(ax, points, points_color, title=None):
x, y = points.T
ax.scatter(x, y, c=points_color, s=50, alpha=0.8)
ax.set_title(title)
ax.xaxis.set_major_formatter(ticker.NullFormatter())
ax.yaxis.set_major_formatter(ticker.NullFormatter())
以上代码定义了三个函数：plot_3d用于绘制3D散点图，plot_2d用于绘制2D散点图，add_2d_scatter是plot_2d的一个辅助函数，用于添加散点图。首先使用plot_3d函数来查看原始的S曲线数据。
流形学习算法基于这样一个观点：许多数据集的维度只是人为地高。这些算法试图找到一个低维表示，使得数据点之间的距离能够很好地反映原始高维空间中的距离。
局部线性嵌入可以被看作是一系列局部的主成分分析，它们在全球范围内进行比较，以找到最佳的非线性嵌入。定义了几种不同的LLE方法，并在S曲线数据集上应用它们。
n_neighbors = 12
n_components = 2
lle_standard = manifold.LocallyLinearEmbedding(method="standard", n_neighbors=n_neighbors, n_components=n_components, eigen_solver="auto", random_state=0)
S_standard = lle_standard.fit_transform(S_points)
lle_ltsa = manifold.LocallyLinearEmbedding(method="ltsa", n_neighbors=n_neighbors, n_components=n_components, eigen_solver="auto", random_state=0)
S_ltsa = lle_ltsa.fit_transform(S_points)
lle_hessian = manifold.LocallyLinearEmbedding(method="hessian", n_neighbors=n_neighbors, n_components=n_components, eigen_solver="auto", random_state=0)
S_hessian = lle_hessian.fit_transform(S_points)
lle_mod = manifold.LocallyLinearEmbedding(method="modified", n_neighbors=n_neighbors, n_components=n_components, eigen_solver="auto", random_state=0)
S_mod = lle_mod.fit_transform(S_points)
fig, axs = plt.subplots(nrows=2, ncols=2, figsize=(7, 7), facecolor="white", constrained_layout=True)
fig.suptitle("Locally Linear Embeddings", size=16)
lle_methods = [
("Standard locally linear embedding", S_standard),
("Local tangent space alignment", S_ltsa),
("Hessian eigenmap", S_hessian),
("Modified locally linear embedding", S_mod),
]
for ax, method in zip(axs.flat, lle_methods):
name, points = method
add_2d_scatter(ax, points, S_color, name)
plt.show()
上述代码展示了如何在S曲线数据集上应用四种不同的局部线性嵌入方法。使用plot_2d函数来可视化每种方法的结果。
等距映射是一种非线性降维方法，它通过等距映射来寻找一个低维嵌入，该嵌入保持了所有点之间的测地线距离。
isomap = manifold.Isomap(n_neighbors=n_neighbors, n_components=n_components, p=1)
S_isomap = isomap.fit_transform(S_points)
plot_2d(S_isomap, S_color, "Isomap Embedding")
等距映射的结果通过plot_2d函数进行了可视化。
多维缩放（MDS）旨在找到一个低维表示，使得数据点之间的距离能够很好地反映原始高维空间中的距离。
md_scaling = manifold.MDS(n_components=n_components, max_iter=50, n_init=4, random_state=0, normalized_stress=False)
S_scaling = md_scaling.fit_transform(S_points)
plot_2d(S_scaling, S_color, "Multidimensional scaling")
多维缩放的结果同样通过plot_2d函数进行了可视化。
谱嵌入是一种非线性降维方法，它使用图拉普拉斯的谱分解来找到数据的低维表示。
spectral = manifold.SpectralEmbedding(n_components=n_components, n_neighbors=n_neighbors, random_state=42)
S_spectral = spectral.fit_transform(S_points)
plot_2d(S_spectral, S_color, "Spectral Embedding")
谱嵌入的结果通过plot_2d函数进行了可视化。
t-SNE是一种流行的非线性降维方法，它将数据点之间的相似性转换为联合概率，并尝试最小化低维嵌入和高维数据之间的Kullback-Leibler散度。t-SNE的成本函数不是凸的，这意味着不同的初始化可能导致不同的结果。
t_sne = manifold.TSNE(n_components=n_components, perplexity=30, init="random", max_iter=250, random_state=0)
S_t_sne = t_sne.fit_transform(S_points)
plot_2d(S_t_sne, S_color, "T-distributed Stochastic Neighbor Embedding")
t-SNE的结果通过plot_2d函数进行了可视化。