贝叶斯岭回归是一种在回归分析中常用的方法，特别是在处理具有噪声的数据时。通过引入正则化参数，可以有效控制模型的复杂度，防止过拟合。在实际应用中，选择合适的正则化参数初始值对于模型的最终性能至关重要。这是因为正则化参数的确定依赖于一个迭代过程，而这个过程受到初始值的影响。
在本例中，使用贝叶斯岭回归来拟合一个正弦波形的多项式。通过改变正则化参数的初始值，可以得到不同的拟合结果。当从默认值开始时，得到的曲线偏差较大，方差较小。为了减少偏差，应该选择一个相对较小的lambda初始值（例如1.e-3）。此外，通过评估这些模型的对数边际似然（L），可以确定哪个模型更好。通常，具有较大L值的模型更有可能是正确的。
import numpy as np
def func(x):
return np.sin(2 * np.pi * x)
size = 25
rng = np.random.RandomState(1234)
x_train = rng.uniform(0.0, 1.0, size)
y_train = func(x_train) + rng.normal(scale=0.1, size=size)
x_test = np.linspace(0.0, 1.0, 100)
在上述代码中，首先定义了一个函数来生成正弦波形的数据。然后，使用numpy库中的随机数生成器来创建一组训练数据，并为这些数据添加了一些噪声。最后，生成了一个测试数据集，用于评估模型的性能。
from sklearn.linear_model import BayesianRidge
n_order = 3
X_train = np.vander(x_train, n_order + 1, increasing=True)
X_test = np.vander(x_test, n_order + 1, increasing=True)
reg = BayesianRidge(tol=1e-6, fit_intercept=False, compute_score=True)
在这段代码中，使用了scikit-learn库中的贝叶斯岭回归模型。首先将训练数据转换为多项式形式，然后创建了一个贝叶斯岭回归模型实例，并设置了一些参数，如容忍度和是否计算得分。
import matplotlib.pyplot as plt
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(8, 4))
for i, ax in enumerate(axes):
# 贝叶斯岭回归的不同初始值对
if i == 0:
init = [1 / np.var(y_train), 1.0] # 默认值
elif i == 1:
init = [1.0, 1e-3] # 较小的lambda初始值
reg.set_params(alpha_init=init[0], lambda_init=init[1])
reg.fit(X_train, y_train)
ymean, ystd = reg.predict(X_test, return_std=True)
ax.plot(x_test, func(x_test), color="blue", label="sin($2\pi x$)")
ax.scatter(x_train, y_train, s=50, alpha=0.5, label="观测值")
ax.plot(x_test, ymean, color="red", label="预测均值")
ax.fill_between(x_test, ymean - ystd, ymean + ystd, color="pink", alpha=0.5, label="预测标准差")
ax.set_ylim(-1.3, 1.3)
ax.legend()
title = "$\\alpha$_init$={:.2f}, $\\lambda$_init$={}$".format(init[0], init[1])
if i == 0:
title += " (默认)"
ax.set_title(title, fontsize=12)
text = "$\\alpha$={:.1f}\n$\\lambda$={:.3f}\n$L$={:.1f}$".format(reg.alpha_, reg.lambda_, reg.scores_[-1])
ax.text(0.05, -1.0, text, fontsize=12)
plt.tight_layout()
plt.show()
在这段代码中，使用matplotlib库来绘制真实曲线和预测曲线。为每个初始值对绘制了一组曲线，并显示了预测的标准差。此外，还显示了模型的参数和对数边际似然（L）值，以便于比较不同模型的性能。
总的来说，贝叶斯岭回归是一种强大的工具，可以帮助在存在噪声的情况下进行有效的曲线拟合。通过仔细选择正则化参数的初始值，可以显著提高模型的性能。此外，通过评估模型的对数边际似然，可以更有信心地选择最佳的模型。