非负矩阵分解(Non-negative Matrix Factorization,简称NMF)是一种数学方法,用于将一个非负矩阵分解为两个非负矩阵的乘积,从而实现数据降维、源分离或主题提取等功能。这种方法在机器学习和数据挖掘领域有着广泛的应用。
在NMF中,寻找两个非负矩阵W和H,使得它们的乘积近似于给定的非负矩阵X。这个过程可以通过交替最小化W和H来实现。如果H被给定且update_H=False,那么只求解W。这种分解的目标函数通常包括一个数据拟合项和一些正则化项,以保证分解的稳定性和稀疏性。
目标函数的形式如下:
L(W, H) = 0.5 * ||X - WH||_{loss}^2 + alpha_W * l1_ratio * n_features * ||vec(W)||_1 +
alpha_H * l1_ratio * n_samples * ||vec(H)||_1 + 0.5 * alpha_W * (1 - l1_ratio) * n_features * ||W||_{Fro}^2 +
0.5 * alpha_H * (1 - l1_ratio) * n_samples * ||H||_{Fro}^2,
其中||A||_{Fro}^2表示Frobenius范数,即矩阵中所有元素平方和的平方根;||vec(A)||_1表示元素级L1范数,即矩阵中所有元素绝对值的和。
目标函数中的||X - WH||_{loss}^2可以表示Frobenius范数或其他支持的beta散度损失。beta_loss参数用于控制这些选项。正则化项通过n_features对W和n_samples对H进行缩放,以保持它们之间的影响平衡,并尽可能独立于训练集的大小。
在NMF中,参数的设置对于分解的效果至关重要。例如,n_components参数用于指定分解的组件数量。如果设置为'auto',那么组件数量将从W或H的形状中自动推断。init参数用于指定初始化方法,可以是随机的、基于非负双奇异值分解(NNDSVD)的,或者是自定义的。solver参数用于选择数值求解器,可以是坐标下降(CD)或乘性更新(MU)。
在实际应用中,可以通过以下Python代码来实现NMF:
import numpy as np
from sklearn.decomposition import non_negative_factorization
# 假设X是一个非负矩阵
X = np.array([[1, 1], [2, 1], [3, 1.2], [4, 1], [5, 0.8], [6, 1]])
# 执行NMF
W, H, n_iter = non_negative_factorization(X, n_components=2, init='random', random_state=0)
在这段代码中,首先导入了必要的库,然后定义了一个非负矩阵X。接着,使用non_negative_factorization函数来执行NMF,其中n_components参数设置为2,表示希望将X分解为两个组件。init参数设置为'random',表示使用随机方法来初始化W和H。random_state参数设置为0,以确保结果的可重复性。
NMF在许多领域都有应用,例如在图像处理中,它可以用于图像的压缩和特征提取;在文本挖掘中,它可以用于文档的主题建模;在音频处理中,它可以用于音乐的源分离等。由于其非负的特性,NMF在处理具有非负约束的数据时特别有效。