非负矩阵分解（Non-negative Matrix Factorization，简称NMF）是一种数据降维技术，它将一个非负矩阵分解为两个非负矩阵的乘积，这两个矩阵分别称为基矩阵（W）和系数矩阵（H）。这种分解方法在许多领域都有应用，例如图像处理、音频分析、文本挖掘等。NMF的目标是找到一个近似的分解，使得原始矩阵X可以通过W和H的乘积来近似表示。
在数学上，NMF问题可以表示为最小化以下目标函数：
L(W, H) = 0.5 * ||X - WH||_{loss}^2 + alpha_W * l1_ratio * n_features * ||vec(W)||_1 +
alpha_H * l1_ratio * n_samples * ||vec(H)||_1 +
0.5 * alpha_W * (1 - l1_ratio) * n_features * ||W||_{Fro}^2 +
0.5 * alpha_H * (1 - l1_ratio) * n_samples * ||H||_{Fro}^2
其中，||A||_{Fro}^2 表示矩阵A的Frobenius范数，即矩阵中所有元素的平方和；||vec(A)||_1 表示矩阵A的元素级L1范数，即矩阵中所有元素的绝对值之和。目标函数中的正则化项用于控制W和H的稀疏性，以提高分解的可解释性。
NMF算法通常采用交替最小化的方法来求解W和H。具体来说，算法首先随机初始化W和H，然后交替地固定一个矩阵，优化另一个矩阵，直到收敛。在某些情况下，如果已知其中一个矩阵，可以设置update_H=False，只求解另一个矩阵。
NMF算法的参数包括：
下面是一个使用Python的scikit-learn库进行NMF分解的示例代码：
import numpy as np
from sklearn.decomposition import non_negative_factorization
# 定义一个非负矩阵X
X = np.array([[1, 1], [2, 1], [3, 1.2], [4, 1], [5, 0.8], [6, 1]])
# 进行NMF分解
W, H, n_iter = non_negative_factorization(X, n_components=2, init='random', random_state=0)
# 打印结果
print("基矩阵W:")
print(W)
print("系数矩阵H:")
print(H)
print("迭代次数：", n_iter)
在这个示例中，首先导入了numpy和scikit-learn库，然后定义了一个非负矩阵X。接着，使用non_negative_factorization函数进行NMF分解，指定了分解的维数为2，初始化方法为'random'，并设置了随机数生成器的种子为0。最后，打印出了基矩阵W、系数矩阵H和迭代次数。