图像分割是计算机视觉领域中一个长期存在的有趣问题，它涉及到将图像划分为可以直接促进一系列计算机视觉问题的区域，前提是这些分割是可靠且高效计算的。例如，图像识别可以利用分割结果来解决诸如图形-背景分离和部分识别等问题。
Felzenszwalb和Huttenlocher在他们的论文《Efficient Graph-Based Image Segmentation》中提出了一种解决上述分割问题的方法，通常被称为Felzenszwalb算法。他们的目标是开发一种广泛有用的图像分割计算方法，类似于其他低级技术如边缘检测在一系列计算机视觉任务中的使用。
他们认为一个好的分割方法应该具备以下属性：分割应该捕捉视觉上重要的分组或区域，这些区域通常反映了图像的全局方面；方法应该是高效的，意味着它应该在图像像素数量的几乎线性时间内运行。尽管许多方法在图像分割方面取得了相当大的进步，但大多数方法都很慢，并且没有考虑到对象可能具有强度不变性，因此会错误地分割该区域。
为了克服以前方法所面临的问题，Felzenszwalb和Huttenlocher采取了基于图的方法进行分割。他们将问题表述如下：设G = (V, E)是一个无向图，其中顶点vi ∈ V是待分割的元素集合，边(vi, vj) ∈ E对应于相邻顶点对。每条边(vi, vj) ∈ E都有一个相应的权重w((vi, vj))，这是一个非负的度量，表示相邻元素vi和vj之间的差异。
在图像分割的情况下，V中的元素是像素，边的权重是连接该边的两个像素之间的差异度量（例如，强度差异、颜色、运动、位置或某些其他局部属性）。S是图G的一个分割，使得G' = (V, E')，其中E' ⊂ E。S将G划分为G'，使其包含不同的组件C。
在构建图像的图时，考虑了两种方法：网格图和最近邻图。网格图中每个像素只与周围的邻居（总共8个其他单元格）连接。边的权重是像素强度值之间的绝对差异。最近邻图中每个像素是特征空间中的一个点（x, y, r, g, b），其中（x, y）是像素位置，（r, g, b）是RGB中的颜色值。权重是两个像素特征向量之间的欧几里得距离。
在了解一个好的图分割的标准之前，最好先了解一些概念：内部差异、组件间差异和最小内部差异。内部差异是组件C的最大边权重，即使移除了所有权重小于Int(C)的边，组件'C'仍然可以保持连接。组件间差异是连接组件C1中的节点vi到组件C2中的节点vj的边的最小权重。最小内部差异是组件C1和C2的内部差异，由因子k控制。
为了判断分割的质量，需要对两个给定区域进行良好的成对区域比较。只有当这个谓词为True时，才认为两个组件是独立的。否则，分割可能太细，组件应该合并。
已经定义了上述条件中的各个术语，让更好地理解它们。组件间差异是连接组件C1中的节点vi到组件C2中的节点vj的边的最小权重。最小内部差异是组件C1和C2的内部差异，由因子k控制。这个因子k在MInt的定义中将内部差异和最小内部差异的理解分开。正如之前看到的τ(C)，设置了组件内部节点需要与组件不同阈值。知道τ(C)=k/|C|，这里，常数k的属性如下：如果k很大，它会导致对较大对象的偏好；k不设置组件的最小大小。
现在考虑这个，可以在相同的上下文中理解最小内部差异(MInt(C1,C2))和组件间差异(Dif(C1,C2))。只有当组件间差异大于两个组件的最小内部差异时，两个组件才能被划分为两个不同的组件。
分割算法及其工作原理。已经看到并理解了谓词，这是算法的核心。给定一个输入图G = (V, E)，有n个顶点和m条边。输出是将V分割成组件S = (C1, ..., Cr)。算法如下：虽然算法一开始可能看起来令人生畏，但它基本上做的是谓词想要的：算法遵循自下而上的程序。给定G=(V,E)和|V|=n，|E|=m。其中|V|是顶点（像素）的数量，|E|是边的数量。边按权重从小到大排序，标记为e1, e2, ..., em。最初，每个像素都有自己的组件，所以从n个组件开始。对于k=1,...,m：在步骤k的分割快照表示为Sk。取第k条边的顺序，ek=(vi, vj)。如果vi和vj属于同一个组件，则什么都不做，因此Sk=Sk-1。如果vi和vj属于两个不同的组件Ci_k-1和Cj_k-1，如在S_k-1的分割中，想合并它们，如果w(vi,vj) ≤ MInt(Ci_k-1,Cj_k-1)；否则什么都不做。整个分割过程可以如下可视化：
这个分割算法有许多属性，其中最重要的属性是：对于任何（有限）图G = (V, E)，存在某种分割S，既不粗糙也不细腻。有关更多属性和证明，可以查看原始论文。这个算法非常容易实现，因为它在skimage库中定义。
# 导入所需库
import skimage.segmentation
from matplotlib import pyplot as plt
# 读取图像
img = plt.imread("/content/image1.jpg")
# 执行分割
# 第一个k=50
# 第二个k=1000
res1 = skimage.segmentation.felzenszwalb(img, scale=50)
res2 = skimage.segmentation.felzenszwalb(img, scale=1000)
# 打印结果
fig = plt.figure(figsize=(12, 5))
ax1 = fig.add_subplot(121)
ax2 = fig.add_subplot(122)
ax1.imshow(res1); ax1.set_xlabel("k=50")
ax2.imshow(res2); ax2.set_xlabel("k=1000")
fig.suptitle("基于图的图像分割")
plt.tight_layout()
结果表明，k值较低会导致分割较粗糙，而k值较大则会导致选择较大的对象，因此分割更细腻。这可以从第二张图片中正确分割的球体中看出，但在第一张图片中没有。还可以标记边界，如果需要的话：
from skimage.data import camera
from skimage.util import img_as_float
from skimage.segmentation import mark_boundaries
img = img_as_float(camera()[::2, ::2])
res3 = skimage.segmentation.felzenszwalb(img, scale=100)
res4 = skimage.segmentation.felzenszwalb(img, scale=500)
fig = plt.figure(figsize=(12, 5))
ax1 = fig.add_subplot(121)
ax2 = fig.add_subplot(122)
ax1.imshow(mark_boundaries(img, res3)); ax1.set_xlabel("With k=100")
ax2.imshow(mark_boundaries(img, res4)); ax2.set_xlabel("With k=500")
fig.suptitle("绘制边界")
原始图像和结果表明，不同的k值对分割结果有显著影响。