在机器学习中，模型的泛化能力是衡量其性能的重要指标之一。模型在训练数据上的表现并不总是等同于在测试数据上的表现。正则化是一种常用的技术，通过在损失函数中添加惩罚项来防止模型过拟合。随着正则化强度的增加，训练数据上的性能可能会降低，但在一定范围内，测试数据上的性能却能达到最优。本文以Elastic-Net回归模型为例，使用解释方差（R^2）来衡量模型性能，探讨了正则化参数的选择对训练和测试误差的影响。
首先，使用sklearn库中的make_regression函数生成回归样本数据。这些数据将被分为训练集和测试集，其中训练集包含75个样本，测试集包含150个样本，每个样本有500个特征。设定信息性特征的数量为50，并设置噪声水平为1.0。
import numpy as np
from sklearn import linear_model
from sklearn.datasets import make_regression
from sklearn.model_selection import train_test_split
n_samples_train, n_samples_test, n_features = 75, 150, 500
X, y, coef = make_regression(n_samples=n_samples_train + n_samples_test, n_features=n_features, n_informative=50, shuffle=False, noise=1.0, coef=True)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, train_size=n_samples_train, test_size=n_samples_test, shuffle=False)
接下来，定义了一系列正则化参数的值，并使用Elastic-Net回归模型来训练这些模型。对于每个正则化参数值，都计算了训练误差和测试误差。通过比较这些误差，可以找到使测试误差最小的正则化参数值，即最优正则化参数。
alphas = np.logspace(-5, 1, 60)
enet = linear_model.ElasticNet(l1_ratio=0.7, max_iter=10000)
train_errors = list()
test_errors = list()
for alpha in alphas:
enet.set_params(alpha=alpha)
enet.fit(X_train, y_train)
train_errors.append(enet.score(X_train, y_train))
test_errors.append(enet.score(X_test, y_test))
i_alpha_optim = np.argmax(test_errors)
alpha_optim = alphas[i_alpha_optim]
print("Optimal regularization parameter: %s" % alpha_optim)
确定了最优正则化参数后，使用该参数在全数据集上重新训练模型，并估计模型系数。这些系数将与真实系数进行比较，以评估模型的拟合效果。
enet.set_params(alpha=alpha_optim)
coef_ = enet.fit(X, y).coef_
最后，使用matplotlib库来绘制正则化参数与训练误差和测试误差之间的关系图。此外，还绘制了真实系数与估计系数的对比图，以直观地展示模型的拟合效果。
import matplotlib.pyplot as plt
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.semilogx(alphas, train_errors, label="Train")
plt.semilogx(alphas, test_errors, label="Test")
plt.vlines(alpha_optim, plt.ylim()[0], np.max(test_errors), color="k", linewidth=3, label="Optimum on test")
plt.legend(loc="lower right")
plt.ylim([0, 1.2])
plt.xlabel("Regularization parameter")
plt.ylabel("Performance")
# 显示估计的系数与真实系数
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(coef, label="True coef")
plt.plot(coef_, label="Estimated coef")
plt.legend()
plt.subplots_adjust(0.09, 0.04, 0.94, 0.94, 0.26, 0.26)
plt.show()
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