在数据分析和机器学习领域，经常需要计算数据点之间的距离。然而，现实世界的数据往往存在缺失值，这给距离计算带来了挑战。本文将介绍一种在数据中存在缺失值时计算欧几里得距离的方法，帮助读者更好地处理这类问题。
欧几里得距离是一种常用的距离度量方式，它衡量的是两个点在多维空间中的直线距离。在没有缺失值的情况下，两个点(x1, y1)和(x2, y2)之间的欧几里得距离可以通过以下公式计算：
distance = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
但是，当数据中存在缺失值时，直接应用上述公式会导致问题。为了解决这个问题，可以采用一种改进的欧几里得距离计算方法，该方法在计算距离时忽略缺失值，并根据剩余有效坐标的数量调整权重。具体来说，如果两个样本点中存在缺失值，只计算非缺失坐标之间的距离，并根据有效坐标的数量调整权重。
这种方法的计算公式如下：
dist(x, y) = sqrt(weight * sq. distance from present coordinates)
其中，weight表示总坐标数与有效坐标数的比值。例如，如果有两个样本点：
[3, NaN, NaN, 6]
[1, NaN, 4, 5]
那么，这两个样本点之间的距离可以按照以下方式计算：
sqrt((4/2)((3-1)^2 + (6-5)^2))
如果所有坐标都是缺失的，或者两个样本点之间没有共同的有效坐标，那么对于这对样本点，将返回NaN作为距离。
这种方法最早在1979年由John K. Dixon在其论文“Pattern Recognition with Partly Missing Data”中提出，并在IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics上发表。
在Python的scikit-learn库中，可以使用nan_euclidean_distances函数来计算这种改进的欧几里得距离。下面是一个简单的代码示例：
from sklearn.metrics.pairwise import nan_euclidean_distances
# 定义包含缺失值的数据点
X = [
[0, 1],
[1, float("NaN")]
]
# 计算X中行向量之间的距离
distances = nan_euclidean_distances(X, X)
print(distances)
# 输出: [[0. , 1.41421356], [1.41421356, 0. ]]
# 计算X中行向量到原点的距离
distances_to_origin = nan_euclidean_distances(X, [[0, 0]])
print(distances_to_origin)
# 输出: [[1. ], [1.41421356]]
通过上述代码，可以看到nan_euclidean_distances函数能够正确处理包含缺失值的数据点，并计算出它们之间的距离。这种方法在处理现实世界数据时非常有用，因为现实世界的数据往往存在缺失值。