多维缩放分析（MDS）是一种用于数据降维的技术，它能够在低维空间中保持数据点之间的相对距离。非度量多维缩放（NMDS）是MDS的一种变体，它不强制保持点之间的距离比例，因此在某些情况下可以提供更灵活的可视化。以下是一个使用Python和scikit-learn库进行MDS和NMDS分析的示例。
首先，生成一些随机数据，并添加一些噪声以模拟真实世界的数据。这些数据将被用于MDS和NMDS分析。
import numpy as np
from sklearn.metrics import euclidean_distances
n_samples = 20
seed = np.random.RandomState(seed=3)
X_true = seed.randint(0, 20, 2 * n_samples).astype(float)
X_true = X_true.reshape((n_samples, 2))
# 将数据中心化
X_true -= X_true.mean()
# 计算欧几里得距离
similarities = euclidean_distances(X_true)
# 向相似度矩阵添加噪声
noise = np.random.rand(n_samples, n_samples)
noise = noise + noise.T
noise[np.arange(noise.shape[0]), np.arange(noise.shape[0])] = 0
similarities += noise
接下来，使用scikit-learn库中的MDS类来执行MDS和NMDS分析。对于MDS，设置metric=True以保持距离比例；对于NMDS，设置metric=False以允许更灵活的可视化。
from sklearn.manifold import MDS
mds = MDS(n_components=2, max_iter=3000, eps=1e-9, random_state=seed, dissimilarity='precomputed')
pos = mds.fit(similarities).embedding_
nmds = MDS(n_components=2, metric=False, max_iter=3000, eps=1e-12, dissimilarity='precomputed', random_state=seed, n_init=1)
npos = nmds.fit_transform(similarities, init=pos)
为了使结果更易于比较，对MDS和NMDS的结果进行重缩放和旋转，以匹配原始数据的分布。
from sklearn.decomposition import PCA
# 重缩放数据
pos *= np.sqrt((X_true**2).sum()) / np.sqrt((pos**2).sum())
npos *= np.sqrt((X_true**2).sum()) / np.sqrt((npos**2).sum())
# 旋转数据
clf = PCA(n_components=2)
X_true = clf.fit_transform(X_true)
pos = clf.fit_transform(pos)
npos = clf.fit_transform(npos)
最后，使用matplotlib库来可视化MDS和NMDS的结果。将原始数据点、MDS结果和NMDS结果分别用不同颜色的点表示，并添加图例以区分它们。
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.collections import LineCollection
fig = plt.figure(1)
ax = plt.axes([0.0, 0.0, 1.0, 1.0])
s = 100
plt.scatter(X_true[:, 0], X_true[:, 1], color="navy", s=s, lw=0, label="真实位置")
plt.scatter(pos[:, 0], pos[:, 1], color="turquoise", s=s, lw=0, label="MDS")
plt.scatter(npos[:, 0], npos[:, 1], color="darkorange", s=s, lw=0, label="NMDS")
plt.legend(scatterpoints=1, loc="best", shadow=False)
# 绘制连接线
start_idx, end_idx = np.where(pos)
segments = [[X_true[i, :], X_true[j, :]] for i in range(len(pos)) for j in range(len(pos))]
values = np.abs(similarities)
lc = LineCollection(segments, zorder=0, cmap=plt.cm.Blues, norm=plt.Normalize(0, values.max()))
lc.set_array(similarities.flatten())
lc.set_linewidths(np.full(len(segments), 0.5))
ax.add_collection(lc)
plt.show()