在机器学习领域，逻辑回归是一种广泛使用的分类算法。当数据集的特征数量较多时，为了防止模型过拟合，通常会采用正则化技术。L1正则化是其中一种，它通过在损失函数中添加一个L1范数项来实现，从而使得模型的权重向量更加稀疏，即许多权重会变为0，这有助于提高模型的可解释性。
在本例中，使用L1正则化的逻辑回归模型来处理MNIST数据集中的手写数字分类问题。MNIST数据集包含了大量的手写数字图片，每个图片被标记为0到9之间的一个数字。目标是训练一个模型，使其能够准确地识别出新的手写数字图片所代表的数字。
采用了SAGA算法来优化带有L1正则化项的逻辑回归模型。SAGA算法特别适合于样本数量远大于特征数量的情况，并且能够有效地处理非光滑的目标函数，这在L1正则化中是常见的。通过这种优化方法，得到的测试准确率超过了80%，同时保持了权重向量的稀疏性，这使得模型更加容易解释。
值得注意的是，虽然L1正则化模型的准确率低于L2正则化模型或非线性的多层感知机模型，但其稀疏性的特点使其在某些应用场景下更具优势。例如，在特征选择或者模型解释性要求较高的场合，L1正则化模型可能更加合适。
在实验中，首先加载了MNIST数据集的一个子集，并对其进行了预处理，包括数据的标准化和划分训练集与测试集。然后，使用SAGA算法训练了L1正则化的逻辑回归模型，并计算了模型的稀疏性和测试得分。实验结果显示，L1正则化模型的稀疏性达到了74.57%，测试得分为0.8253。整个实验的运行时间为8.354秒。
此外，还绘制了模型的权重向量，以直观地展示每个类别的分类向量。这些分类向量可以被看作是模型学习到的数字特征，它们在空间上呈现出一定的稀疏性，这与L1正则化的目标相一致。
import time
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn.datasets import fetch_openml
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.utils import check_random_state
# 开始计时
t0 = time.time()
# 设置训练样本数量
train_samples = 5000
# 从OpenML加载MNIST数据集
X, y = fetch_openml("mnist_784", version=1, return_X_y=True, as_frame=False)
random_state = check_random_state(0)
permutation = random_state.permutation(X.shape[0])
X = X[permutation]
y = y[permutation]
X = X.reshape((X.shape[0], -1))
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, train_size=train_samples, test_size=10000)
# 数据标准化
scaler = StandardScaler()
X_train = scaler.fit_transform(X_train)
X_test = scaler.transform(X_test)
# 初始化逻辑回归模型，使用L1正则化和SAGA算法
clf = LogisticRegression(C=50.0 / train_samples, penalty="l1", solver="saga", tol=0.1)
clf.fit(X_train, y_train)
# 计算模型的稀疏性和测试得分
sparsity = np.mean(clf.coef_ == 0) * 100
score = clf.score(X_test, y_test)
# 打印稀疏性和测试得分
print("Sparsity with L1 penalty: %.2f%%" % sparsity)
print("Test score with L1 penalty: %.4f" % score)
# 绘制分类向量
coef = clf.coef_.copy()
plt.figure(figsize=(10, 5))
scale = np.abs(coef).max()
for i in range(10):
l1_plot = plt.subplot(2, 5, i + 1)
l1_plot.imshow(coef[i].reshape(28, 28), interpolation="nearest", cmap=plt.cm.RdBu, vmin=-scale, vmax=scale)
l1_plot.set_xticks(())
l1_plot.set_yticks(())
l1_plot.set_xlabel("Class %i" % i)
plt.suptitle("Classification vector for...")
run_time = time.time() - t0
print("Example run in %.3f s" % run_time)
plt.show()