在统计学和机器学习中，模型选择是一个关键步骤，它涉及到从多个候选模型中选择一个最佳模型。Lasso回归是一种流行的线性模型，它通过引入L1正则化来实现特征选择。在本例中，将使用Akaike信息准则（AIC）和贝叶斯信息准则（BIC）来选择最佳的Lasso模型。这些标准帮助平衡模型的复杂度和拟合优度，从而避免过拟合。
将使用糖尿病数据集来演示如何应用AIC和BIC标准。首先，需要加载数据集，并查看其基本特征。糖尿病数据集包含了多个与疾病相关的特征，如年龄、性别、体重指数等。这些特征将作为自变量，而疾病的严重程度将作为因变量。
from sklearn.datasets import load_diabetes
X, y = load_diabetes(return_X_y=True, as_frame=True)
print(X.head())
接下来，将使用Scikit-learn库中的LassoLarsIC估计器来拟合Lasso模型。这个估计器允许指定AIC或BIC作为模型选择的标准。在拟合模型之前，还需要对数据进行标准化处理，以确保所有特征都在相同的尺度上。
from sklearn.linear_model import LassoLarsIC
from sklearn.pipeline import make_pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
lasso_lars_ic = make_pipeline(StandardScaler(), LassoLarsIC(criterion="aic"))
lasso_lars_ic.fit(X, y)
在拟合模型后，需要重新调整AIC和BIC的值，以符合Zou等人在2007年论文中的定义。这涉及到从AIC和BIC中减去一些常数项。
import numpy as np
def zou_et_al_criterion_rescaling(criterion, n_samples, noise_variance):
""“重新调整信息准则以符合Zou等人的定义。”""
return criterion - n_samples * np.log(2 * np.pi * noise_variance) - n_samples
aic_criterion = zou_et_al_criterion_rescaling(lasso_lars_ic[-1].criterion_, n_samples, lasso_lars_ic[-1].noise_variance_)
现在已经计算了AIC和BIC，可以检查这两个准则的最小值是否发生在相同的alpha值上。如果是这样，可以简化后续的绘图过程。
index_alpha_path_aic = np.flatnonzero(lasso_lars_ic[-1].alphas_ == lasso_lars_ic[-1].alpha_)[0]
lasso_lars_ic.set_params(lassolarsic__criterion="bic").fit(X, y)
bic_criterion = zou_et_al_criterion_rescaling(lasso_lars_ic[-1].criterion_, n_samples, lasso_lars_ic[-1].noise_variance_)
index_alpha_path_bic = np.flatnonzero(lasso_lars_ic[-1].alphas_ == lasso_lars_ic[-1].alpha_)[0]
print(index_alpha_path_aic == index_alpha_path_bic) # 应该输出True
最后，可以绘制AIC和BIC准则的曲线，并标出选定的正则化参数alpha。这将帮助直观地理解不同alpha值对模型选择的影响。
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(aic_criterion, color="tab:blue", marker="o", label="AIC准则")
plt.plot(bic_criterion, color="tab:orange", marker="o", label="BIC准则")
plt.vlines(index_alpha_path_bic, aic_criterion.min(), aic_criterion.max(), color="black", linestyle="--", label="选定的alpha")
plt.legend()
plt.ylabel("信息准则")
plt.xlabel("Lasso模型序列")
plt.title("通过AIC和BIC选择Lasso模型")
plt.show()