在本文中，将探讨主成分分析（PCA）这一技术，并将其应用于MNIST数据集。在深入PCA技术之前，首先需要了解PCA是什么，它的几何解释，数学公式，以及如何在MNIST数据集上实现PCA。PCA是一种维度降低技术，它将n维数据减少到n'维，其中n大于n'。许多数据集拥有大量特征，这些特征即数据点的广度。在这些数据集中，有些特征对最终结果的影响较小，并且增加了机器学习模型的处理时间。人类只能在2D和3D中可视化数据，而无法想象更高维度的数据。为了解决可视化和优化问题，机器学习中有许多技术，如PCA、t-SNE、随机森林、核PCA、截断SVD等。
本文将使用的数据集是MNIST数据集，它包含了0到9的手写数字信息。在这个数据集中，单个数字的信息以784*1数组的形式存储，其中784*1数组的单个元素代表28*28图像的单个像素。这里单个像素的值从0到1不等，其中黑色由1表示，白色由0表示，中间值代表灰色阴影。
PCA的几何解释：PCA的工作是降低给定数据集的维度。也就是说，如果有一个d维数据集，那么任务是将数据转换为d'维数据，其中d大于d'。为了理解PCA的几何解释，将以一个2D数据集为例，并将其转换为1D数据集，因为无法想象超过3D的数据。但从2D解释中学到的任何东西，也可以做在更高维度上。
现在让来看一个例子，假设有一个DxN维数据集X，其中d=2，n=20，数据集的两个特征是f1和f2。现在让看看用这些数据制作的散点图，其数据分布如下所示。看了散点图后，很容易就能说出f1的特征方差远大于f2的特征方差。与f1的变异性相比，f2的变异性不重要。如果要在f1和f1之间选择一个特征，可以很容易地选择f1特征。现在假设无法可视化2D数据，为了可视化数据，必须将2D数据转换为1D数据，会怎么做？所以简单的答案是直接保留那些方差最高的特性，并移除那些对整体结果影响较小的特性。这就是PCA内部所做的。
首先，确保数据是标准化的，因为在标准化数据上执行PCA比原始数据要容易得多。所以现在再次让看看有一个d*n维数据集X，其中d=2，n=20，数据集的两个特征是f1和f2。并且记住已经标准化了数据。但在这种情况下，散点图看起来像这样。在这种情况下，如果要从2D降低到1D，就不能清楚地选择f1或f2，因为这次两个特征的方差几乎相同，两个特征似乎都很重要。那么PCA是怎么做的呢？
在这种情况下，PCA试图在数据方差很高的方向上画一条线。也就是说，不是在f1或f1轴上投影数据或测量方差，而是在f1'或f2'方向上量化方差，因为在f1'或f2'方向上测量方差更有意义。所以PCA试图找到数据方差很高的向量或线的方向。数据方差最高的向量方向称为PC1（第一主成分），第二高的是PC2，第三是PC3，以此类推。
PCA的数学公式：已经展示了PCA的几何直觉，展示了PCA如何降低数据的维度。所以PCA简单地找到方向并画出方差很高的向量，但可能想知道PCA是如何做到的，以及它如何找到方差很高的向量的正确方向。PCA如何计算角度并给准确的斜率。所以PCA使用两种技术来找到向量的角度。这两种方法是方差最大化和距离最小化。让简要了解一下它们。
1. 方差最大化：在这种方法中，简单地将所有数据点投影到单位向量u1上，并找到所有投影数据点的方差。选择方差最大的方向。所以让假设有一个二维数据集，数据集的特征是f1和f2，xi是数据点，u1是单位向量。如果将数据点xi投影到u1上，投影点是xi'，u1=单位向量||u1||=1（单位向量的长度）f1和f2=数据集的特征xi=数据点xi'=u1*xi/||u1||假设u1是单位向量，所以单位向量的长度||u1||=1=>xi'=u1*xi=>xi'=u1T*xi……（1）现在x^'=u1T*x^………..（2）[x^=x的平均值]所以找到u1，使得投影xi到u1的方差最大化var{u1T*xi}（i是1到n）如果数据是列标准化的，那么平均值=0，方差=1所以x^=[0, 0, 0… .. . . .0]=>u1T*x^=0想要最大化方差。
2. 距离最小化：在PCA的这种技术中，试图最小化数据点到u1（长度为1的单位向量）的距离||xi||2=di2+(u1T*xi)2[勾股定理]di2=||xi||2–(u1T*xi)2=>di2=xiT*xi–(u1T*xi)2想要最小化所有距离平方的和。
在MNIST数据集上实现PCA：正如之前讨论的MNIST数据集，刚刚完成了对PCA的理解，所以现在是在MNIST数据集上执行PCA这个降维技术的最好时机，实现将从零开始，所以不要再浪费时间了，让开始吧。
首先，导入实现PCA所需的Python库。
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
现在让从计算机上加载MNIST数据集，该数据集以.csv格式存储。为了简单起见，只导入了20000行，可以从以下链接下载MNIST数据集：
df = pd.read_csv('mnist_train.csv', nrows = 20000)
print("the shape of data is :", df.shape)
df.head()
运行上述代码以查看输出。
从数据集中提取标签列。
label = df['label']
df.drop('label', axis = 1, inplace = True)
使用matplotlib的imshow()方法绘制数据集中的随机样本点。
ind = np.random.randint(0, 20000)
plt.figure(figsize = (20, 5))
grid_data = np.array(df.iloc[ind]).reshape(28,28)
plt.imshow(grid_data, interpolation = None, cmap = 'gray')
plt.show()
print(label[ind])
使用sklearn.preprocessing模块的StandardScalar类对数据集进行列标准化，因为在对数据进行列标准化之后，每个特征的平均值变为0（零），方差为1。所以从原点执行PCA。
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
scaler = StandardScaler()
std_df = scaler.fit_transform(df)
std_df.shape
找到协方差矩阵，即AT * A，使用NumPy的matmul方法。乘法之后，协方差矩阵的维度是784 * 784。
covar_mat = np.matmul(std_df.T, std_df)
covar_mat.shape
找到两个最大的特征值和对应的特征向量，以便投影到2D表面。参数‘eigvals’定义（从低值到高值），eigh函数将按升序返回特征值，此代码仅生成最大的两个（782和783）特征值。
from scipy.linalg import eigh
values, vectors = eigh(covar_mat, eigvals = (782, 783))
print("Dimensions of Eigen vector:", vectors.shape)
vectors = vectors.T
print("Dimensions of Eigen vector:", vectors.shape)
如果将两个最大的向量乘以协方差矩阵，找到了两个主成分PC1和PC2。
final_df = np.matmul(vectors, std_df.T)
print("vectros:", vectors.shape, "n", "std_df:", std_df.T.shape, "n", "final_df:", final_df.shape)
final_dfT = np.vstack((final_df, label)).T
dataFrame = pd.DataFrame(final_dfT, columns = ['pca_1', 'pca_2', 'label'])
dataFrame
sns.FacetGrid(dataFrame, hue = 'label', size = 8)
.map(sns.scatterplot, 'pca_1', 'pca_2')
.add_legend()
plt.show()