在信号处理领域，稀疏编码是一种将信号表示为一组基函数的稀疏线性组合的技术。本文通过使用SparseCoder估计器，比较了不同的稀疏编码方法在表示信号时的效果。特别地，关注了Ricker波（也称为墨西哥帽波或高斯的二阶导数），它并不是表示分段常数信号的最佳核函数。因此，可以看到添加不同宽度的原子对于信号表示的影响，这进一步激发了学习最佳适应信号类型的字典的需求。
在右侧的丰富字典中，并没有增加字典的大小，而是通过更重的子采样来保持相同的数量级。这种字典的丰富性并不以牺牲大小为代价，而是通过精心设计的子采样策略来实现的。
以下是使用Python语言和matplotlib库实现的稀疏编码方法比较的代码示例。首先，定义了Ricker函数和Ricker矩阵，然后生成了一个简单的信号，并使用不同的稀疏编码方法对其进行了编码。最后，绘制了原始信号和编码后的信号，并计算了每种方法的误差。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn.decomposition import SparseCoder
def ricker_function(resolution, center, width):
"""离散子采样的Ricker（墨西哥帽）小波"""
x = np.linspace(0, resolution - 1, resolution)
x = (2 / (np.sqrt(3 * width) * np.pi**0.25) *
(1 - (x - center)**2 / width**2) * np.exp(-((x - center)**2) / (2 * width**2)))
return x
def ricker_matrix(width, resolution, n_components):
"""Ricker（墨西哥帽）小波字典"""
centers = np.linspace(0, resolution - 1, n_components)
D = np.empty((n_components, resolution))
for i, center in enumerate(centers):
D[i] = ricker_function(resolution, center, width)
D /= np.sqrt(np.sum(D**2, axis=1))[:,
np.newaxis]
return D
resolution = 1024
subsampling = 3 # 子采样因子
width = 100
n_components = resolution // subsampling # 计算小波字典
# 计算固定宽度和多宽度的小波字典
D_fixed = ricker_matrix(width=width, resolution=resolution, n_components=n_components)
D_multi = np.r_[
tuple(ricker_matrix(width=w, resolution=resolution, n_components=n_components//5)
for w in (10, 50, 100, 500, 1000))
]
# 生成一个信号
y = np.linspace(0, resolution - 1, resolution)
first_quarter = y < resolution / 4
y[first_quarter] = 3.0
y[np.logical_not(first_quarter)] = -1.0
# 列出不同的稀疏编码方法
estimators = [
("OMP", "omp", None, 15, "navy"),
("Lasso", "lasso_lars", 2, None, "turquoise"),
]
lw = 2
plt.figure(figsize=(13, 6))
for subplot, (D, title) in enumerate(zip((D_fixed, D_multi), ("固定宽度", "多宽度"))):
plt.subplot(1, 2, subplot + 1)
plt.title("Sparse coding against %s dictionary" % title)
plt.plot(y, lw=lw, linestyle="--", label="原始信号")
# 进行小波近似
for title, algo, alpha, n_nonzero, color in estimators:
coder = SparseCoder(dictionary=D, transform_n_nonzero_coefs=n_nonzero,
transform_alpha=alpha, transform_algorithm=algo)
x = coder.transform(y.reshape(1, -1))
density = len(np.flatnonzero(x))
x = np.ravel(np.dot(x, D))
squared_error = np.sum((y - x)**2)
plt.plot(x, color=color, lw=lw,
label="%s: %s nonzero coefs,\n%.2f error" % (title, density, squared_error))
# 软阈值去偏
coder = SparseCoder(dictionary=D, transform_algorithm="threshold", transform_alpha=20)
x = coder.transform(y.reshape(1, -1))
_, idx = np.where(x != 0)
x[0, idx], _, _, _ = np.linalg.lstsq(D[idx, :].T, y, rcond=None)
x = np.ravel(np.dot(x, D))
squared_error = np.sum((y - x)**2)
plt.plot(x, color="darkorange", lw=lw,
label="Thresholding w/ debiasing:\n%d nonzero coefs, %.2f error" % (len(idx), squared_error))
plt.axis("tight")
plt.legend(shadow=False, loc="best")
plt.subplots_adjust(0.04, 0.07, 0.97, 0.90, 0.09, 0.2)
plt.show()
通过上述代码，可以看到在固定宽度和多宽度字典下，不同的稀疏编码方法对信号的近似效果。每种方法都有其特定的参数设置，如OMP方法和Lasso方法，它们在稀疏编码中扮演着不同的角色。此外，还展示了软阈值去偏技术，这是一种常用的信号去噪方法。