在机器学习领域，选择合适的求解器对于模型的训练和预测性能至关重要。本文旨在通过手写数字数据集，比较几种不同的在线求解器的性能。这些求解器包括随机梯度下降（SGD）、平均随机梯度下降（ASGD）、感知机（Perceptron）、被动-攻击性 I（Passive-AggressiveI）和被动-攻击性 II（Passive-Aggressive II），以及序列最小优化（SAG）。
为了进行公平的比较，设定了不同的训练集比例，从1%到95%，并在每个比例下重复10轮训练和评估。这样的设置可以帮助观察不同求解器在不同数据量下的表现。
实验结果表明，不同的求解器在手写数字数据集上的表现各异。SGD和ASGD由于其随机性和平均化策略，通常能够较快地收敛，但在某些情况下可能会过拟合。感知机算法在某些问题上表现良好，但在复杂的数据集上可能会收敛缓慢。被动-攻击性算法则在处理非线性可分数据集时表现出色，但需要仔细调整参数以避免过拟合。SAG算法作为一种更高效的求解器，通常能够在保持良好性能的同时减少计算量。
在实际应用中，选择哪种求解器取决于具体问题的性质和数据集的特点。例如，对于大规模数据集，SAG算法可能是一个更好的选择，因为它可以更有效地利用计算资源。而对于需要快速迭代的场景，SGD或ASGD可能更为合适。此外，被动-攻击性算法在处理具有明显边界的数据集时可能更为有效。
总的来说，没有一种求解器能够在所有情况下都是最优的。因此，在选择求解器时，需要根据具体问题的需求和数据集的特性进行综合考虑。通过对比不同求解器在手写数字数据集上的表现，可以更好地理解它们的优势和局限性，从而为实际问题选择合适的求解器。
以下是使用Python和scikit-learn库进行求解器性能比较的示例代码。代码中使用了matplotlib库来绘制不同求解器在不同训练集比例下的错误率曲线。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn import datasets
from sklearn.linear_model import LogisticRegression, PassiveAggressiveClassifier, Perceptron, SGDClassifier
from sklearn.model_selection import train_test_split
heldout = [0.95, 0.90, 0.75, 0.50, 0.01]
rounds = 10
X, y = datasets.load_digits(return_X_y=True)
classifiers = [
("SGD", SGDClassifier(max_iter=110)),
("ASGD", SGDClassifier(max_iter=110, average=True)),
("Perceptron", Perceptron(max_iter=110)),
("Passive-Aggressive I", PassiveAggressiveClassifier(max_iter=110, loss="hinge", C=1.0, tol=1e-4)),
("Passive-Aggressive II", PassiveAggressiveClassifier(max_iter=110, loss="squared_hinge", C=1.0, tol=1e-4)),
("SAG", LogisticRegression(max_iter=110, solver="sag", tol=1e-1, C=1.0e4/X.shape[0])),
]
xx = 1.0 - np.array(heldout)
for name, clf in classifiers:
print("training %s" % name)
rng = np.random.RandomState(42)
yy = []
for i in heldout:
yy_ = []
for r in range(rounds):
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=i, random_state=rng)
clf.fit(X_train, y_train)
y_pred = clf.predict(X_test)
yy_.append(1 - np.mean(y_pred == y_test))
yy.append(np.mean(yy_))
plt.plot(xx, yy, label=name)
plt.legend(loc="upper right")
plt.xlabel("Proportion train")
plt.ylabel("Test Error Rate")
plt.show()
运行上述代码，可以得到一个图表，展示了不同求解器在不同训练集比例下的错误率。通过这个图表，可以直观地比较不同求解器的性能。