本示例旨在直观展示不同层次聚类链接选项的行为，而非寻找数字数据集的最佳聚类。因此，示例在二维嵌入上进行操作。通过这个示例，可以观察到层次聚类中“富者愈富”的现象，即倾向于创建大小不均的聚类。这种趋势在平均链接策略中尤为明显，最终会形成几个包含少量数据点的聚类。
单链接策略的情况更为极端，大部分数字被一个非常大的聚类覆盖，一个中等大小（清晰的）聚类包含大多数零数字，而其他聚类则从边缘的噪声点中抽取。其他链接策略则导致更均匀分布的聚类，因此可能对数据集的随机重采样不太敏感。
在进行聚类之前，首先需要计算数字数据集的二维嵌入。这个过程已经完成。接下来，将展示使用不同链接策略的层次聚类结果。
以下是使用Python和scikit-learn库实现上述聚类和可视化的代码。
from sklearn import datasets, manifold
from sklearn.cluster import AgglomerativeClustering
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import time
# 加载数字数据集
digits = datasets.load_digits()
X, y = digits.data, digits.target
n_samples, n_features = X.shape
np.random.seed(0)
# 定义聚类可视化函数
def plot_clustering(X_red, labels, title=None):
x_min, x_max = np.min(X_red, axis=0), np.max(X_red, axis=0)
X_red = (X_red - x_min) / (x_max - x_min)
plt.figure(figsize=(6, 4))
for digit in digits.target_names:
plt.scatter(*X_red[y == digit].T, marker=f"${digit}$", s=50,
c=plt.cm.nipy_spectral(labels[y == digit] / 10), alpha=0.5)
plt.xticks([])
plt.yticks([])
if title is not None:
plt.title(title, size=17)
plt.axis("off")
plt.tight_layout(rect=[0, 0.03, 1, 0.95])
# 计算数字数据集的二维嵌入
print("Computing embedding")
X_red = manifold.SpectralEmbedding(n_components=2).fit_transform(X)
print("Done.")
# 应用不同的层次聚类链接策略
for linkage in ("ward", "average", "complete", "single"):
clustering = AgglomerativeClustering(linkage=linkage, n_clusters=10)
t0 = time.time()
clustering.fit(X_red)
print(f"{linkage}:\t{time.time() - t0:.2f}s")
plot_clustering(X_red, clustering.labels_, f"{linkage} linkage")
plt.show()
上述代码首先加载了数字数据集，然后定义了一个函数来可视化聚类结果。接着，使用不同的链接策略（ward、average、complete、single）来执行层次聚类，并计算每种策略的执行时间。最后，展示了每种链接策略的聚类结果。