线性代数在数据科学中的应用

线性代数是数学的一个分支,在数据科学领域中扮演着极其重要的角色。通过线性代数,可以对大量数据进行数学操作,尤其是在机器学习(ML)中,大多数算法都依赖于线性代数,尤其是矩阵。因为大部分数据都是以矩阵形式表示的。既然已经了解了线性代数的重要性,就让深入探讨它吧!将从基础开始——向量。

向量

在数学和物理学中,向量是一个术语,它指的是一些不能通过单个数字表达的量,或者是某些向量空间的元素。根据维基百科的定义,向量是一个具有大小和方向的量。它是线性代数的基本构建块。如果查看维基百科上的定义,会看到——量不能通过单个数字表达。这意味着它们具有维度,并且可以是任何维度。向量的维度由向量中的数值元素数量决定。例如,一个包含4个元素的向量将具有四维。向量的大小可以通过以下公式计算:

import numpy as np v = np.array([1,2,3,4,5]) # 向量

基本向量操作包括标量乘法、向量加法和减法、向量点积等。以下是使用Python进行这些操作的示例代码:

import numpy as np A = np.array([1,2,3,4]) # 向量 print(A*4) # 标量乘法 A = np.array([1,2,3,4]) # 向量1 B = np.array([-4,-3, -2, -1]) # 向量2 print(A+B) # 向量加法 print(A-B) # 向量减法 print(np.dot(A, B)) # 点积

矩阵

矩阵是一个具有m行n列的数据量。可以将多个向量组合成一个矩阵,每个矩阵都是一个向量。矩阵之所以有用,是因为它们允许对大量数据执行操作,例如在矩阵量中表示整个方程组。甚至可以通过使用行和列号来访问元素。以下是使用Python创建矩阵的示例:

import numpy as np A = np.array([[1,2],[3,4]]) # 矩阵 print(A[1,1]) # 访问矩阵A的元素

矩阵操作包括矩阵加法和减法、矩阵乘法等。以下是使用Python进行这些操作的示例代码:

import numpy as np A = np.array([[1,2],[3,4]]) #矩阵1 B = np.array([[-3,-2],[-4,-5]]) # 矩阵2 print(A+B) # 加法 print(A-B) # 减法 print(np.matmul(A, B)) print(A@B) # 两种矩阵乘法方法

特殊矩阵

特殊矩阵有三种类型:单位矩阵、转置矩阵和置换矩阵。单位矩阵是一个方阵,其对角线元素为1,其余元素为0。任何矩阵与单位矩阵相乘都是其本身。在Python中,可以使用numpy的.eye()方法创建单位矩阵。转置矩阵是通过交换矩阵的行和列来计算的,用“T”表示。在Python中,可以使用.T来转置矩阵。置换矩阵是一个方阵,它允许翻转另一个矩阵的行和列。它与单位矩阵类似,除了每行的一个元素是1之外,其余元素都是0。要翻转矩阵A的行,将置换矩阵P乘以左侧(PA)。要翻转列,将置换矩阵P乘以右侧(AP)。

import numpy as np identity = np.eye(4) # 创建4x4单位矩阵A = np.array([[1,2],[3,4]]) # 矩阵 A_trans = A.T # 转置矩阵

线性方程组的矩阵形式

矩阵在求解线性方程组方面有着极其有用的应用。例如,可以使用Numpy的linalg子模块来解决这样的线性系统。以下是将上述线性方程组转换为矩阵的示例:

import numpy as np A = np.array([[1,4,-1],[-1,-3,-2],[2, -1, -2]]) b = np.array([-1,2,-2]) x, y, z = np.linalg.solve(A, b)

逆矩阵

import numpy as np A = np.array([[1,2],[3,4]]) print(np.linalg.inv(A)) import numpy as np print(np.zeros((3,2))) # 打印3x2尺寸的矩阵 import numpy as np A = np.array([2,-4,1]) A_norm = np.linalg.norm(A) # 返回4.5825
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