在这篇文章中，根据面试经验汇总了15个数据科学问题，这些问题覆盖了概率、统计、线性代数以及机器学习算法等领域。特别地，还提供了一个挑战性的数据科学问题，以拓宽对数据科学概念的思考。
以下是一些基于不同数据科学领域的客观问题及其解答。
在应用主成分分析（PCA）后，以下哪两个主成分是可能的？
选项：(a) [1,2] 和 [2,-1] (b) [1/2, √3/2] 和 [√3/2, -1/2] (c) [1,3] 和 [2,3] (d) [1,4] 和 [3,5]
答案：选项 (b)。PCA 寻找数据方差最大的方向，并找到相互正交的方向，计算出的主成分是归一化的。因此，只有选项 (b) 满足 PCA 算法中主成分的所有属性。
不能对以下哪种概率分布应用独立成分分析（ICA）？
选项：(a) 均匀分布 (b) 高斯分布 (c) 指数分布 (d) 以上都不是
答案：选项 (b)。不能对高斯或正态变量应用 ICA，因为这些分布是对称的。这是在应用 ICA 算法时必须记住的约束条件。
在线性判别分析（LDA）的情况下，以下哪个选项是正确的？
选项：(a) LDA 最大化类间距离并最小化类内距离 (b) LDA 同时最小化类间和类内距离 (c) LDA 最小化类间距离并最大化类内距离 (d) LDA 同时最大化类间和类内距离
答案：选项 (a)。LDA 试图通过线性判别函数最大化类间方差并最小化类内方差。它假设每个类中的数据都由具有相同协方差的正态分布描述。
关于分类变量的以下陈述中，哪个是正确的？
陈述 1：分类变量有大量的类别。陈述 2：分类变量有少量的类别。
选项：(a) 对于第一个陈述，增益比优于信息增益 (b) 对于第二个陈述，增益比优于信息增益 (c) 类别不决定增益比和信息增益的偏好 (d) 以上都不是
答案：选项 (a)。当拥有大量特征时，计算信息增益需要进行大量计算，而在增益比中，只需计算比率而不需要单独计算各项。因此，对于手中的大量特征，在使用决策树相关的机器学习算法处理分类变量时，更倾向于使用增益比。
考虑两个特征：特征1和特征2，其值分别为“是”和“否”。
特征1：9个“是”和7个“否”。特征2：12个“是”和4个“否”。
在这16个实例中，哪个特征具有更高的熵？
选项：(a) 特征1 (b) 特征2 (c) 特征1和特征2具有相同的熵 (d) 数据不足，无法决定
答案：选项 (a)。对于二分类问题，熵定义为：
熵 = -(P(class0) * log2(P(class0)) + P(class1) * log2(P(class1)))
现在，特征X中有7个“否”和9个“是”。将7/16和9/16的值代入上述公式，得到熵的值为0.988。同样，可以计算另一个特征的熵，然后进行比较。
当装袋应用于回归树时，以下哪些陈述是正确的？
S1：每棵树具有高方差和低偏差。S2：取所有回归树的平均值。S3：对于n个自助样本，有n个回归树。
选项：(a) S1和S3正确 (b) 只有S2正确 (c) S2和S3正确 (d) 所有都正确
答案：选项 (d)。装袋是一种集成技术，从训练数据中形成自助样本，并对每个样本训练一个弱分类器，最后，对于测试数据集的预测，结合所有弱学习器的结果。结果的平均化有助于降低方差，同时保持偏差大致恒定。
确定具有以下值的特征（X）的熵：
X = [0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1]
选项：(a) -0.988 (b) 0.988 (c) -0.05 (d) 0.05
答案：选项 (b)。对于二分类问题（假设A和B），熵定义为：
熵 = -(P(class-A) * log2(P(class-A)) + P(class-B) * log2(P(class-B)))
现在，特征X中有7个零和9个一。将7/16和9/16的值代入上述公式，得到熵的值为0.988。
关于独立成分分析（ICA）估计，以下哪些选项是正确的？
选项：(a) 变量的负熵和互信息总是非负的。(b) 对于统计独立的变量，互信息为零。(c) 对于统计独立的变量，互信息应最小，负熵应最大。(d) 以上都是。
答案：选项 (d)。以下是关于ICA算法的真实情况：
- 算法中涉及的任何变量，负熵和互信息的符号总是非负的。
- 但是，如果有统计独立的变量，那么互信息为零。
- 此外，对于统计独立的变量，互信息的值应最小，而负熵应最大。
以下是一些需要深入理解和计算的主观问题。
一个社会中有70%的男性和30%的女性。每个人都有一个球，球的颜色可能是红色或蓝色。已知5%的男性和10%的女性有红球。如果随机选择一个人，发现他有蓝球，那么这个人是男性的概率是多少？
解答：使用条件概率的概念，计算得到概率为0.711。
正在使用支持向量机（SVM）构建一个垃圾邮件分类系统。“垃圾邮件”是正类（y=1），“非垃圾邮件”是负类（y=0）。已经训练了分类器，验证集中有m=1000个样本。预测类别与实际类别的混淆矩阵如下：
实际类别：1实际类别：0预测类别：1 85 890预测类别：0 15 10
基于上述混淆矩阵，分类器的平均准确率和类别准确率是多少？
提示：平均分类准确率：(TP+TN)/(TP+TN+FP+FN)类别分类准确率：[TN/(TN+FP)+TP/(TP+FN)]/2
其中，TP = 真正例，FP = 假正例，FN = 假负例，TN = 真负例。
考虑一组2D数据点，坐标为{(-3,-3), (-1,-1),(1,1),(3,3)}。希望通过主成分分析（PCA）算法将这些点的维度降低1。假设√2=1.414。现在，回答以下问题：
13. 求权重矩阵W。
14. 求给定数据的降维结果。
解答：原始数据位于R^2，即二维空间，目标是将数据的维度降低到1，即一维数据。
逐步解决这些问题，以便清楚地了解PCA算法中涉及的步骤：
步骤1：获取数据集
X = [[-3, -1, 1, 3], [-3, -1, 1, 3]]
步骤2：计算均值向量（µ）
均值向量：[{(-3+(-1)+1+3)/4}, {(-3+(-1)+1+3)/4}] = [0, 0]
步骤3：从给定数据中减去均值
由于均值向量为0,0，所以减去均值后得到相同的数据点。
步骤4：计算协方差矩阵
协方差矩阵：XX^T = [[20, 20], [20, 20]]
步骤5：确定协方差矩阵的特征向量和特征值
det(C-λI)=0 给出特征值为0和40。
现在，选择计算出的最大特征值，并找到对应于λ=40的特征向量，使用方程CX=λX：
得到的特征向量为 (1/√2) [1, 1]
因此，矩阵XX^T的特征值为0和40。
步骤6：选择主成分并形成权重向量
U = R^2×1 并等于对应于最大特征值的XX^T的特征向量。
现在，C=XX^T的特征值分解，W（权重矩阵）是U矩阵的转置，给出为行向量。
因此，权重矩阵为 [1 1]/1.414
步骤7：通过权重向量投影得到新数据集
现在，降维数据为 xi = U^T Xi = WXi
x1 = WX1 = (1/√2) [1, 1] [-3, -3]^T = – 3√2
x2 = WX2 = (1/√2) [1, 1] [-1, -1]^T = – √2
x3 = WX3 = (1/√2) [1, 1] [1, 1]^T = √2
x4 = WX4 = (1/√2) [1, 1] [3, 3]^T = 3√2
因此，降维结果将等于 {-3*1.414, -1.414, 1.414, 3*1.414}。
E(r) = 1/N Σ max { ( ||x(i) – c|| – r ) yi, 0 }