在统计学中，矩是一种描述数据分布特征的重要工具。它们基于每个分布得出的数值特征。本文将详细讨论统计学中的矩。
矩在统计学中被广泛用于描述分布的特征。假设关注的随机变量是X，那么矩就是X的期望值。例如，E(X), E(X²), E(X³), E(X⁴)等。
这些矩在统计学中非常有用，因为它们能够告诉很多关于数据的信息。统计学中常用的四个矩包括均值、方差、偏度和峰度。为了比较不同的数据集，将使用这四个基本的统计矩来描述它们。
第一中心矩是期望值，也称为数学期望、均值或平均值。它衡量的是中心点的位置。
情况1：当所有结果发生的概率相同时，它被定义为变量所有可能取值乘以该值发生的概率之和。直观上，可以将其理解为算术平均值。
情况2：当所有结果发生的概率不同时，这是一个更一般的方程，包括每个结果发生的概率，定义为所有变量乘以相应概率的总和。
结论：对于等可能的事件，期望值与算术平均值完全相同。这是衡量中心趋势的最流行指标之一，也称之为平均值。但是，还有其他一些常见的指标，如中位数和众数。
中位数 —— 中间值；众数 —— 最可能的值。
第二中心矩是方差。它衡量的是分布中值的离散程度，或者说与正常值的偏离程度。方差表示一组数据点围绕其均值值的分布情况。
例如，对于一个样本数据集，可以按照以下方式找到方差：
标准差是方差的平方根，由于随机变量X和标准差的单位相同，所以解释起来更容易。
例如，对于正态分布：
现在，让理解给定问题的答案：为什么方差比平均绝对偏差（MAD）更受青睐？方差比MAD更受青睐，原因如下：
第三统计矩是偏度。它衡量分布关于其均值的不对称程度。可以根据其偏度区分三种类型的分布：
例如，对于正态分布，其值的偏度等于0，该分布是对称的。通常，偏度会影响均值、中位数和众数之间的关系：
但是，上述概括并不适用于所有可能的分布。例如，如果一个尾部很长，但另一个尾部很重，这可能不适用。探索数据的最佳方式是首先计算所有三个估计值，然后尝试根据结果得出结论，而不仅仅是关注一般规则。
第四统计矩是峰度。它衡量尾部和异常值的数量。它关注分布的尾部，并解释分布是平坦还是有高峰。这个度量告诉，分布是否比正态分布更富有极端值。
例如，对于正态分布，峰度的值等于3。对于峰度不等于3的情况，有以下情况：
通常，可以根据峰度区分三种类型的分布：
现在，来定义什么是超额峰度：超额峰度 = 峰度 - 3。
理解峰度与异常值的关系：峰度被定义为标准化数据平均值的四次方。任何小于|1|（即，数据在均值的一个标准差内）的标准化值对峰度的贡献很小。
# 第一矩（均值）
import numpy as np
data = [10, 12, 15, 20, 25]
mean = np.mean(data)
print("Mean:", mean)
# 输出
# Mean: 16.4
# 第二矩（方差）
import numpy as np
data = [10, 12, 15, 20, 25]
variance = np.var(data)
print("Variance:", variance)
# 输出
# Variance: 29.839999999999996
# 第三矩（偏度）
import numpy as np
from scipy.stats import skew
data = [10, 12, 15, 20, 25]
skewness = skew(data)
print("Skewness:", skewness)
# 输出
# Skewness: 0.4081372552079214
# 第四矩（峰度）
import numpy as np
from scipy.stats import kurtosis
data = [10, 12, 15, 20, 25]
kurt = kurtosis(data)
print("Kurtosis:", kurt)
# 输出
# Kurtosis: -1.2717442086121507