线性回归是机器学习中的一种基础算法，属于监督学习。监督学习是指在有标签的训练数据集上训练模型，以便模型能够学习到数据之间的规律，从而对新的、未见过的数据进行预测或分类。线性回归主要用来预测连续的数值型数据。
要理解线性回归，首先需要了解一些基础概念。线性回归模型的目标是找到一个函数，这个函数能够尽可能好地拟合训练数据集中的点。这个函数通常被称为“最佳拟合曲线”。在最简单的形式中，线性回归模型可以表示为：
f(x) = w1 * x + w0
其中，f(x)是预测函数，w1是斜率，w0是截距，x是输入变量。
线性回归的数学原理涉及到最小化误差平方和。给定一组数据点，希望找到一组参数w1和w0，使得预测值与实际值之间的误差平方和最小。这个过程可以通过梯度下降算法来实现，也可以通过解析方法来求解。
为了进一步理解线性回归，可以通过一个简单的练习来巩固这个概念。假设有以下的训练数据集：
x: 0, 1, 2, 3, 4
y: 3, 6, 7, 8, 11
需要找到满足以下公式的假设函数：
f(x) = w1 * x + w0
根据视频材料中的公式，可以计算出w1和w0的值：
w0 = (1/M) * sum(yi) - (w1/M) * sum(xi)
w1 = (M * sum(xi * yi) - (sum(xi) * sum(yi))) / (M * sum(xi^2) - (sum(xi))^2)
其中M是训练数据集的样本数量。对于给定的数据集，M=5。可以计算出：
w1 = (5 * (0*3 + 1*6 + 2*7 + 3*8 + 4*11) - (0 + 1 + 2 + 3 + 4) * (3 + 6 + 7 + 8 + 11)) / (5 * (0 + 1 + 4 + 9 + 16) - (0 + 1 + 2 + 3 + 4)^2)
w1 = (5 * 88 - 350) / (5 * 30 - 100) = 9/5
w0 = (1/5) * (3 + 6 + 7 + 8 + 11) - (9/5) * (1/5) * (0 + 1 + 2 + 3 + 4)
w0 = 7 - 18/5 = 17/5
因此，假设函数为：
f(x) = 1.8 * x + 3.4
这个函数可以用来预测新的x值对应的y值。例如，如果想要预测x=5时的y值，可以将x=5代入函数中：
f(5) = 1.8 * 5 + 3.4 = 14.4
这意味着，根据线性回归模型，当x=5时，预测的y值大约为14.4。
线性回归模型虽然简单，但它在许多实际问题中都非常有用。它不仅可以用于预测，还可以用于诊断数据之间的关系。例如，在医学领域，线性回归可以用来预测病人的病情发展；在金融领域，它可以用于预测股票价格的走势。