在计算机科学中，最近公共祖先（Least Common Ancestor, LCA）是一个重要的概念，它指的是在树或图结构中，两个节点共享的最低层级的祖先节点。例如，在社交网络、计算机网络、编译器中的公共子表达式消除等领域，LCA都有广泛的应用。本文将介绍如何在一个表达式树中找到两个节点的LCA，并提供C#语言的实现方法。
在C#中，首先需要定义一个树节点的接口。一个树节点包含一个值和一个子节点集合。没有父节点的引用，只能通过值来标识节点。
public interface ITreeNode<T> {
T Value { get; set; }
IEnumerable<ITreeNode<T>> Children { get; }
}
以上代码定义了一个泛型接口ITreeNode，它包含一个值和子节点集合的属性。
将创建一个辅助类，该类包含一个方法，该方法接受两个节点并返回它们的最常见父节点。
ITreeNode<T> FindCommonParent(ITreeNode<T> x, ITreeNode<T> y)
Berkman和Vishkin的算法非常直接。首先进行一些预处理。使用欧拉路径遍历每个节点，并将这些信息存储在数组中。欧拉路径可以通过深度优先遍历找到。从根节点开始，记录从根节点到第一个子节点的路径。如果该子节点还有另一个子节点，那么记录从该子节点到底部的路径，直到到达图的底部。一旦到达底部，从子节点开始向上记录路径，直到回到父节点。如果父节点有另一个子节点，重复相同的过程，直到访问了图中的每个节点并返回到根节点。
预处理函数如下：
private void PreProcess() {
// Eulerian path visit of graph
Stack<ProcessingState> lastNodeStack = new Stack<ProcessingState>();
ProcessingState current = new ProcessingState(_rootNode);
ITreeNode<T> next;
lastNodeStack.Push(current);
NodeIndex nodeIndex;
int valueIndex;
while (lastNodeStack.Count != 0) {
current = lastNodeStack.Pop();
if (!_indexLookup.TryGetValue(current.Value, out nodeIndex)) {
valueIndex = _nodes.Count;
_nodes.Add(current.Value);
_indexLookup[current.Value] = new NodeIndex(_values.Count, valueIndex);
} else {
valueIndex = nodeIndex.LookupIndex;
}
_values.Add(valueIndex);
// If there is a next then push the current value on to the stack along with
// the current value.
if (current.Next(out next)) {
lastNodeStack.Push(current);
lastNodeStack.Push(new ProcessingState(next));
}
}
_nodes.TrimExcess();
_values.TrimExcess();
}
以上代码用于创建欧拉路径数组。
预处理完成后，可以使用区间最小查询（Range Minimum Query）来计算LCA。区间最小查询正如其名，对于数组中的给定范围，需要找到最小值。定义的范围是节点第一次被访问的时间。使用哈希表查找给定节点的信息，然后通过一个简单的FOR循环找到给定范围内的最小值。不包括哈希表查找，可以说最坏情况下的时间复杂度是O(n)，其中n是图中节点的数量。
public ITreeNode<T> FindCommonParent(ITreeNode<T> x, ITreeNode<T> y) {
// Find the first time the nodes were visited during preprocessing.
NodeIndex nodeIndex;
int indexX, indexY;
if (!_indexLookup.TryGetValue(x, out nodeIndex)) {
throw new ArgumentException("The x node was not found in the graph.");
}
indexX = nodeIndex.FirstVisit;
if (!_indexLookup.TryGetValue(y, out nodeIndex)) {
throw new ArgumentException("The y node was not found in the graph.");
}
indexY = nodeIndex.FirstVisit;
// Adjust so X is less than Y
int temp;
if (indexY < indexX) {
temp = indexX;
indexX = indexY;
indexY = temp;
}
// Find the lowest value.
temp = int.MaxValue;
for (int i = indexX; i < indexY; i++) {
if (_values[i] < temp) {
temp = _values[i];
}
}
return _nodes[temp];
}