在计算机图形学中，贝塞尔曲线是一种非常常用的曲线绘制方法。它通过一组控制点来定义曲线的形状，这些控制点决定了曲线的弯曲程度和方向。本文将介绍如何构造贝塞尔曲线，并展示如何通过样条插值技术获取曲线上的任意点。
贝塞尔曲线可以通过一组支持点（support points）来构造。这些支持点将曲线分割成多个贝塞尔段（Bezier segments）。每个贝塞尔段由四个构造点（construction points）定义，包括两个支持点和另外两个控制点，后者用于确保贝塞尔曲线在支持点处的切线方向与离开支持点的切线方向相同。
要获取曲线上某个X位置的Y值，首先需要找到包含该X位置的贝塞尔段。这可以通过二分查找法快速完成。在VB.NET中，可以使用以下代码实现：
Dim Indx = _Points.BinarySearch(New PointF(X, 0), Function(P1, P2) P1.X.CompareTo(P2.X))
这里，Indx将是第一个点的索引的位补码，其X值大于X。然后，将这个索引传递给第二个步骤，即插值函数。
由于贝塞尔曲线没有直接的Y=f(X)函数，通过二分逼近法来近似X'。以下是VB.NET中的插值函数实现：
Protected Overrides Function InterpolateSegment(ByVal X As Single, ByVal Indx As Integer) As PointF
Dim Pts = Me.DrawPath.PathPoints
Dim BezierSegment = New PointF() {Pts(Indx - 3), Pts(Indx - 2), Pts(Indx - 1), Pts(Indx)}
Dim Range = New Single() {0, 0, 1}
Dim Dlt = -2.0F
Dim Pt As PointF
Do
Range(If(Dlt < 0, 0, 2)) = Range(1)
Range(1) = (Range(0) + Range(2)) / 2
Pt = PointOfFraction(Range(1), BezierSegment)
Dlt = Pt.X - X
Loop Until Math.Abs(Dlt) < 0.5
Return Pt
End Function
这个函数通过不断逼近，直到找到与给定X值的误差在0.5以内的点。
卡斯特利亚算法（Casteljau's algorithm）是一种计算贝塞尔曲线上给定分数处点的方法。该算法通过递归地计算控制点之间的比例中点，直到只剩下一个点，即所求的贝塞尔曲线上的点。以下是VB.NET中的实现：
Private Shared Function PointOfFraction(ByVal Fraction As Single, ByVal ptBeziers() As PointF) As PointF
Dim Pts(ptBeziers.Length - 2) As PointF
For I = 0 To ptBeziers.Length - 2
Pts(I) = PointBetween(ptBeziers(I), ptBeziers(I + 1), Fraction)
Next
For UBord = Pts.Length - 2 To 0 Step -1
For I = 0 To UBord
Pts(I) = PointBetween(Pts(I), Pts(I + 1), Fraction)
Next
Next
Return Pts(0)
End Function
这个算法的关键在于计算控制点之间的比例中点，直到只剩下一个点。
虽然通过样条插值可以近似地获取贝塞尔曲线上的点，但这种方法在数学上并不完全正确。因为贝塞尔曲线的某些部分可能无法通过插值达到。更准确的方法是使用三次样条插值，但这需要解决线性方程组，涉及到更复杂的线性代数知识。
本文的项目实现了多种自定义绘图需求，包括可移动和高亮显示的点、多边形、贝塞尔曲线、三次样条曲线和标题。这些需求被组织成一系列的类层次结构：
在程序中，将样条视为具有不同绘制和插值方式的多边形。如果只有两个支持点，它们实际上表示的是同一条直线。