减法是数学中的基础运算之一，它被定义为加法的逆运算。在本文中，将深入探讨减法的定义、原理以及在计算机中的实现方式。
减法可以定义为从A中移除B个单位，结果S满足B + S = A。这种定义强调了减法与加法之间的逆关系。此外，减法还可以被看作是一种倒计数操作，例如9 - 5，从9开始倒数5次，得到的结果为4。需要注意的是，减法并不满足交换律，即9 - 5不等于5 - 9。在自然数范围内，如果A小于B，则减法运算是未定义的。因此，减法仅在A和B都是自然数且A大于等于B的情况下定义。
在计算机中，整数通常使用补码形式表示，以适应固定大小的存储。然而，本文将使用不同的数字表示方法。
在十进制（或其他进制）系统中，如果A和B都是单个数字，可以通过从9倒数到0来计算A - B的结果，前提是A必须大于等于B。
为了克服只能从较大的数字中减去较小数字的限制，引入了借位的概念。例如，5 - 9，可以从5开始倒数9次，当达到0时，标记借位，然后从9开始继续倒数，最终得到结果6。这种方法有助于处理多位数的减法运算。
减法的一个有趣性质是，无论基数b是多少，只要A和B都是基数b的单个数字，如果B大于A，那么A - B将会产生借位，结果始终是单个数字，并且结果的数字将大于第一个操作数。
如果A或B有多于一个数字，需要一种算法来完成操作，而不需要进行昂贵的倒数。例如，如果要做1000000 - 999999，可以使用简单的扩展减法来处理每一对数字Ai - Bi，并在每次迭代中处理借位。
与十进制类似，但使用2的整数寄存器大小的基数，CPU可以处理2的整数寄存器大小的数字。CPU可能有借位标志和减法借位硬件指令来简化借位检测。需要注意的是，借位标志并不总是在高级语言中可用，但可以通过调整之前讨论的属性来模拟。
这里提出的算法是对实际算法的高层次概述，其思想是将A - B的长减法分解为一系列简单的减法An - Bn，从两个数字的最低有效数字开始，还需要在每次迭代中传播借位（借位只能是1或0）。
// 示例算法伪代码
function longSubtraction(A, B) {
let result = [];
let borrow = 0;
for (let i = 0; i < A.length; i++) {
let a = A[i];
let b = (i < B.length) ? B[i] : 0;
let difference = a - b - borrow;
result.push(difference);
borrow = (a < b) || (borrow && a === b) ? 1 : 0;
}
return result;
}
以下是一个C语言的“参考”版本，它假设了一些关于本地机器硬件寄存器的假设。目标是有一个配置文件来设置实际算法，并有一个基本的可移植实现。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
typedef unsigned int reg_t;
typedef int numsize_t;
numsize_t LongSub(reg_t* A, numsize_t ASize, reg_t * B, numsize_t BSize, reg_t* R) {
numsize_t i;
int borrow = 0;
numsize_t msd = -1;
for (i = 0; i < BSize; i++) {
reg_t a = A[i];
reg_t b = B[i];
R[i] = a - b - borrow;
borrow = (a < b) || (borrow && a == b);
}
for (; i < ASize; i++) {
R[i] = A[i] - borrow;
if (R[i] != 0) msd = i;
borrow = (R[i] > A[i]) ? 1 : 0;
if (borrow == 0) break;
}
if (msd == -1) msd = ASize - 1;
for (; i < ASize; i++) {
R[i] = A[i];
}
return msd + 1;
}
int main() {
// 示例使用
reg_t A[] = {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0};
reg_t B[] = {9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9};
reg_t R[11];
numsize_t ASize = sizeof(A) / sizeof(A[0]);
numsize_t BSize = sizeof(B) / sizeof(B[0]);
numsize_t resultSize = LongSub(A, ASize, B, BSize, R);
for (int i = resultSize - 1; i >= 0; i--) {
printf("%d", R[i]);
}
return 0;
}