半素数（semi-prime）是指只有两个因子的数，除了1之外，这两个因子是互质的。例如，21是一个半素数，因为它可以分解为3和7，这两个因子互质。在密码学中，半素数的分解是一个重要的课题，尤其是在RSA算法中。本文将探讨两种半素数的因式分解技术：一种是利用二次公式，另一种是利用欧拉函数。
半素数n可以表示为两个互质因子p和q的乘积，即n = p * q。可以通过构建一个二次多项式来表示这个问题：
x^2 - (p+q)x + pq = 0
这里，可以使用二次公式来求解p和q：
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/2
将系数代入公式，得到：
p+q ± sqrt((p+q)^2 - 4 * pq)
通过这个公式，可以找到p和q的值。例如，对于n=21，有：
x^2 - (3+7)x + 21 = 0
代入二次公式，得到：
10 ± sqrt((10^2) - 4 * 21)
解这个方程，可以得到p=3和q=7。
欧拉函数φ(n)对于半素数n=p*q，可以表示为(p-1)*(q-1)。可以通过以下公式计算φ(n)：
φ(n) = p*q - p - q + 1
然后，可以得到：
n = φ(n) + p + q - 1
通过解这个方程，可以得到p+q的值：
p+q = n - φ(n) + 1
有了p+q的值，就可以再次使用二次公式来求解p和q。这种方法可以分解128位以上的半素数。
可以使用C++编写一个程序来实现上述算法。以下是一个简单的实现：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
int main(int argc, char **argv) {
if (argc != 2) {
fprintf(stderr, "syntax: factor semi_prime\n");
return 1;
}
int n = strtoul(argv[1], NULL, 10);
int i = 2, j = 0, k = 0, trials = 0, p = 0, q = 0;
if ((n % i) == 0) {
printf("n=%d p=%d q=%d trials=1\n", n, i, p/i);
return 0;
}
for (; i < n; i += 2, ++trials) {
j = (i * i) + 4 * n;
k = (int)sqrt(j);
if ((k * k) == j) {
p = (k + i) / 2;
q = (k – i) / 2;
printf("n=%d p=%d q=%d trials=%d\n", n, p, q, trials);
return 0;
}
}
return 0;
}