在医学成像领域，计算机断层扫描（CT）是一种常用的技术，它能够通过不同角度获取的一系列平行投影来重建图像。这种数据采集方法需要大量的投影数据，其数量通常与图像的线性尺寸（像素数）成正比。为了简化问题，假设图像是稀疏的，即只有物体边界上的像素具有非零值。这种数据可能对应于细胞材料等。然而，大多数图像在不同的基底上是稀疏的，例如Haar小波。因此，仅采集了图像线性尺寸的1/7的投影数据，这就需要利用样本的先验信息（其稀疏性），这是压缩感知的一个例子。
断层摄影投影操作是一种线性变换。除了对应于线性回归的数据保真项外，还对图像的L1范数进行惩罚，以考虑其稀疏性。由此产生的优化问题被称为Lasso。使用了Lasso类，它使用了坐标下降算法。重要的是，这种实现在稀疏矩阵上的计算效率比这里使用的投影操作更高。
L1惩罚的重建结果实现了零误差（所有像素都成功地被标记为0或1），即使在投影中添加了噪声。相比之下，L2惩罚（Ridge）为像素产生了大量的标记错误。在重建的图像上观察到重要的伪影，与L1惩罚相反。特别要注意的是，将角落的像素与中心盘分开的圆形伪影，这些像素对较少的投影做出了贡献。
以下是一个使用Python语言和相关科学计算库实现的图像重建示例。该示例展示了如何生成合成的二进制数据，并使用Lasso优化算法进行图像重建。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy import ndimage, sparse
from sklearn.linear_model import Lasso, Ridge
def _weights(x, dx=1, orig=0):
x = np.ravel(x)
floor_x = np.floor((x - orig) / dx).astype(np.int64)
alpha = (x - orig - floor_x * dx) / dx
return np.hstack((floor_x, floor_x + 1)), np.hstack((1 - alpha, alpha))
def _generate_center_coordinates(l_x):
X, Y = np.mgrid[:l_x, :l_x].astype(np.float64)
center = l_x / 2.0
X += 0.5 - center
Y += 0.5 - center
return X, Y
def build_projection_operator(l_x, n_dir):
""“计算断层扫描设计矩阵。”""
X, Y = _generate_center_coordinates(l_x)
angles = np.linspace(0, np.pi, n_dir, endpoint=False)
data_inds, weights, camera_inds = [], [], []
data_unravel_indices = np.arange(l_x**2)
data_unravel_indices = np.hstack((data_unravel_indices, data_unravel_indices))
for i, angle in enumerate(angles):
Xrot = np.cos(angle) * X - np.sin(angle) * Y
inds, w = _weights(Xrot, dx=1, orig=X.min())
mask = np.logical_and(inds >= 0, inds < l_x)
weights += list(w[mask])
camera_inds += list(inds[mask] + i * l_x)
data_inds += list(data_unravel_indices[mask])
proj_operator = sparse.coo_matrix((weights, (camera_inds, data_inds)))
return proj_operator
def generate_synthetic_data():
""“生成合成的二进制数据。”""
rs = np.random.RandomState(0)
n_pts = 36
x, y = np.ogrid[0:l, 0:l]
mask_outer = (x - l / 2.0)**2 + (y - l / 2.0)**2 < (l / 2.0)**2
mask = np.zeros((l, l))
points = l * rs.rand(2, n_pts)
mask[(points[0]).astype(int), (points[1]).astype(int)] = 1
mask = ndimage.gaussian_filter(mask, sigma=l / n_pts)
res = np.logical_and(mask > mask.mean(), mask_outer)
return np.logical_xor(res, ndimage.binary_erosion(res))
# 生成合成图像和投影
l = 128
proj_operator = build_projection_operator(l, l // 7)
data = generate_synthetic_data()
proj = proj_operator @ data.ravel()[:, np.newaxis]
proj += 0.15 * np.random.randn(*proj.shape)
# 使用L2（Ridge）惩罚进行重建
rgr_ridge = Ridge(alpha=0.2)
rgr_ridge.fit(proj_operator, proj.ravel())
rec_l2 = rgr_ridge.coef_.reshape(l, l)
# 使用L1（Lasso）惩罚进行重建
rgr_lasso = Lasso(alpha=0.001)
rgr_lasso.fit(proj_operator, proj.ravel())
rec_l1 = rgr_lasso.coef_.reshape(l, l)
plt.figure(figsize=(8, 3.3))
plt.subplot(131)
plt.imshow(data, cmap=plt.cm.gray, interpolation="nearest")
plt.axis("off")
plt.title("原始图像")
plt.subplot(132)
plt.imshow(rec_l2, cmap=plt.cm.gray, interpolation="nearest")
plt.title("L2惩罚")
plt.axis("off")
plt.subplot(133)
plt.imshow(rec_l1, cmap=plt.cm.gray, interpolation="nearest")
plt.title("L1惩罚")
plt.axis("off")
plt.subplots_adjust(hspace=0.01, wspace=0.01, top=1, bottom=0, left=0, right=1)
plt.show()
上述代码首先定义了一组辅助函数，用于生成中心坐标、构建投影操作符以及生成合成的二进制数据。然后，代码展示了如何使用Lasso和Ridge算法对添加了噪声的投影数据进行重建，并比较了两种方法的效果。