在机器学习领域，核方法是一种强大的技术，它允许在高维空间中进行有效的计算，而无需显式地映射数据到这个空间。径向基函数（RBF）核是一种流行的核函数，它通过计算数据点之间的欧氏距离的高斯变换来工作。然而，在大规模数据集上，精确的核方法可能会变得计算成本高昂。为了解决这个问题，可以近似RBF核的特征映射，从而在保持分类性能的同时减少计算量。
本文将展示如何使用两种流行的核近似方法：RBFSampler和Nystroem，来近似RBF核的特征映射。将在手写数字数据集上使用支持向量机（SVM）进行分类，并比较使用线性SVM、近似映射的线性SVM以及核化SVM的结果。将展示不同数量的蒙特卡洛采样（对于使用随机傅里叶特征的RBFSampler）和不同大小的训练子集（对于Nystroem）对近似映射的影响。
需要注意的是，由于本文使用的数据集规模不够大，因此无法完全展示核近似的优势，因为精确的SVM仍然相当快。然而，通过增加采样维度可以明显提高分类结果的准确性，但这也会增加计算成本。这意味着在运行时间和准确性之间存在一个权衡，这个权衡由参数n_components来决定。值得注意的是，通过使用随机梯度下降（SGDClassifier）可以大大加速解决线性SVM和近似核SVM的问题，但对于核化SVM的情况则不容易实现。
首先，需要导入必要的Python包和数据集。以下是一个示例代码，展示了如何导入所需的库和手写数字数据集：
from time import time
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn import datasets, pipeline, svm
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.kernel_approximation import Nystroem, RBFSampler
# 加载手写数字数据集
digits = datasets.load_digits(n_class=9)
接下来，需要将图像数据展平，将其转换为（样本，特征）矩阵的形式。然后，将数据集分为训练集和测试集，分别用于训练模型和评估模型的性能。
n_samples = len(digits.data)
data = digits.data / 16.0
data -= data.mean(axis=0)
# 使用数据的前半部分进行训练
data_train, targets_train = data[:n_samples//2], digits.target[:n_samples//2]
# 使用数据的后半部分进行测试
data_test, targets_test = data[n_samples//2:], digits.target[n_samples//2:]
现在，将创建一个支持向量分类器，并使用RBFSampler和Nystroem方法来近似RBF核的特征映射。然后，将使用这些近似映射来训练线性SVM，并评估其在测试集上的性能。
# 创建SVM分类器
kernel_svm = svm.SVC(gamma=0.2)
linear_svm = svm.LinearSVC(random_state=42)
# 创建核近似和线性SVM的管道
feature_map_fourier = RBFSampler(gamma=0.2, random_state=1)
feature_map_nystroem = Nystroem(gamma=0.2, random_state=1)
fourier_approx_svm = pipeline.Pipeline([
("feature_map", feature_map_fourier),
("svm", svm.LinearSVC(random_state=42)),
])
nystroem_approx_svm = pipeline.Pipeline([
("feature_map", feature_map_nystroem),
("svm", svm.LinearSVC(random_state=42)),
])
将比较使用线性SVM、近似映射的线性SVM和核化SVM在不同采样步骤和训练子集大小下的性能。这将帮助理解在运行时间和准确性之间的权衡。
# 训练和预测使用线性和核SVM
kernel_svm_time = time()
kernel_svm.fit(data_train, targets_train)
kernel_svm_score = kernel_svm.score(data_test, targets_test)
kernel_svm_time = time() - kernel_svm_time
linear_svm_time = time()
linear_svm.fit(data_train, targets_train)
linear_svm_score = linear_svm.score(data_test, targets_test)
linear_svm_time = time() - linear_svm_time
sample_sizes = 30 * np.arange(1, 10)
fourier_scores = []
nystroem_scores = []
fourier_times = []
nystroem_times = []
for D in sample_sizes:
fourier_approx_svm.set_params(feature_map__n_components=D)
nystroem_approx_svm.set_params(feature_map__n_components=D)
start = time()
nystroem_approx_svm.fit(data_train, targets_train)
nystroem_times.append(time() - start)
start = time()
fourier_approx_svm.fit(data_train, targets_train)
fourier_times.append(time() - start)
fourier_score = fourier_approx_svm.score(data_test, targets_test)
nystroem_score = nystroem_approx_svm.score(data_test, targets_test)
nystroem_scores.append(nystroem_score)
fourier_scores.append(fourier_score)
最后，将绘制分类准确性和训练时间的图表，以直观地展示不同方法的性能。
plt.figure(figsize=(16, 4))
accuracy = plt.subplot(121)
timescale = plt.subplot(122)
accuracy.plot(sample_sizes, nystroem_scores, label="Nystroem approx. kernel")
timescale.plot(sample_sizes, nystroem_times, "--", label="Nystroem approx. kernel")
accuracy.plot(sample_sizes, fourier_scores, label="Fourier approx. kernel")
timescale.plot(sample_sizes, fourier_times, "--", label="Fourier approx. kernel")
# 绘制精确RBF和线性核的水平线
accuracy.plot([sample_sizes[0], sample_sizes[-1]], [linear_svm_score, linear_svm_score], label="linear svm", )
timescale.plot([sample_sizes[0], sample_sizes[-1]], [linear_svm_time, linear_svm_time], "--", label="linear svm", )
accuracy.plot([sample_sizes[0], sample_sizes[-1]], [kernel_svm_score, kernel_svm_score], label="rbf svm", )
timescale.plot([sample_sizes[0], sample_sizes[-1]], [kernel_svm_time, kernel_svm_time], "--", label="rbf svm", )
# 绘制数据特征维度为64的垂直线
accuracy.plot([64, 64], [0.7, 1], label="n_features")
# 图例和标签
accuracy.set_title("Classification accuracy")
timescale.set_title("Training times")
accuracy.set_xlim(sample_sizes[0], sample_sizes[-1])
accuracy.set_xticks(())
accuracy.set_ylim(np.min(fourier_scores), 1)
timescale.set_xlabel("Sampling steps = transformed feature dimension")
accuracy.set_ylabel("Classification accuracy")
timescale.set_ylabel("Training time in seconds")
accuracy.legend(loc="best")
timescale.legend(loc="best")
plt.tight_layout()
plt.show()
通过上述代码，可以在手写数字数据集上近似RBF核的特征映射，并使用SVM进行分类。比较了不同采样步骤和训练子集大小下的性能，以理解在运行时间和准确性之间的权衡。
为了进一步理解这些分类器的行为，可以将决策面投影到数据的第一和第二主成分上。这将帮助直观地比较RBF核SVM和线性SVM的决策面。需要注意的是，这种可视化只是一个有趣的决策面切片，因为数据实际上是在64维空间中的。特别是，一个数据点（表示为一个点）不一定被分类到它所在的区域，因为它不会位于第一和第二主成分所跨越的平面上。
pca = PCA(n_components=8, random_state=42).fit(data_train)
X = pca.transform(data_train)
# 生成第一和第二主成分的网格
multiples = np.arange(-2, 2, 0.1)
first = multiples[:, np.newaxis] * pca.components_[0, :]
second = multiples[:, np.newaxis] * pca.components_[1, :]
grid = first[np.newaxis, :, :] + second[:, np.newaxis, :]
flat_grid = grid.reshape(-1, data.shape[1])
# 绘制决策面
plt.figure(figsize=(18, 7.5))
plt.rcParams.update({"font.size": 14})
titles = ["SVC with rbf kernel", "SVC (linear kernel) with Fourier rbf feature map n_components=100", "SVC (linear kernel) with Nystroem rbf feature map n_components=100"]
for i, clf in enumerate((kernel_svm, nystroem_approx_svm, fourier_approx_svm)):
plt.subplot(1, 3, i + 1)
Z = clf.predict(flat_grid)
Z = Z.reshape(grid.shape[:-1])
levels = np.arange(10)
lv_eps = 0.01
plt.contourf(multiples, multiples, Z, levels=levels - lv_eps, cmap=plt.cm.tab10, vmin=0, vmax=10, alpha=0.7)
plt.axis("off")
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=targets_train, cmap=plt.cm.tab10, edgecolors=(0, 0, 0), vmin=0, vmax=10)
plt.title(titles[i])
plt.tight_layout()
plt.show()
通过上述代码，可以将RBF核SVM和线性SVM的决策面投影到数据的第一和第二主成分上。这将帮助直观地比较这两种分类器的决策面。需要注意的是，这种可视化只是一个有趣的决策面切片，因为数据实际上是在64维空间中的。