在机器学习领域，高斯过程分类（GPC）是一种基于概率的监督学习方法，它能够提供关于分类结果的不确定性估计。本文将探讨使用径向基函数（RBF）核的GPC模型，并分析不同超参数选择对模型性能的影响。
首先，通过生成一组简单的数据来模拟分类问题。数据集中的每个样本都只有一个特征，并且根据该特征值是否大于2.5来分配类别标签。接着，使用固定的超参数和优化后的超参数来训练两个GPC模型，并比较它们的对数边际似然（LML）和在测试集上的对数损失（log-loss）。
在第一个图中，展示了使用任意选择的超参数和优化后的超参数的GPC模型的预测概率。尽管优化后的超参数具有更高的LML值，但在测试数据上的对数损失却略高。这是因为优化后的模型在类别边界附近预测的概率变化剧烈（这是好的），但在远离边界的地方预测的概率接近0.5（这是不好的）。这种不良效应是由GPC内部使用的拉普拉斯近似引起的。
第二个图展示了不同核超参数选择的对数边际似然，并通过黑色点突出显示了第一个图中使用的两种超参数选择。可以看到，尽管优化后的模型在LML上表现更好，但在测试集上的准确性和对数损失上却略逊一筹。
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessClassifier
from sklearn.gaussian_process.kernels import RBF
from sklearn.metrics import accuracy_score, log_loss
# 生成数据
train_size = 50
rng = np.random.RandomState(0)
X = rng.uniform(0, 5, 100)[:, np.newaxis]
y = np.array(X[:, 0] > 2.5, dtype=int)
# 指定具有固定和优化超参数的高斯过程
gp_fix = GaussianProcessClassifier(kernel=1.0 * RBF(length_scale=1.0), optimizer=None)
gp_fix.fit(X[:train_size], y[:train_size])
gp_opt = GaussianProcessClassifier(kernel=1.0 * RBF(length_scale=1.0))
gp_opt.fit(X[:train_size], y[:train_size])
print("Log Marginal Likelihood (initial): %.3f" % gp_fix.log_marginal_likelihood(gp_fix.kernel_.theta))
print("Log Marginal Likelihood (optimized): %.3f" % gp_opt.log_marginal_likelihood(gp_opt.kernel_.theta))
print("Accuracy: %.3f (initial) %.3f (optimized)" % (
accuracy_score(y[:train_size], gp_fix.predict(X[:train_size])),
accuracy_score(y[:train_size], gp_opt.predict(X[:train_size]))
))
print("Log-loss: %.3f (initial) %.3f (optimized)" % (
log_loss(y[:train_size], gp_fix.predict_proba(X[:train_size])[:, 1]),
log_loss(y[:train_size], gp_opt.predict_proba(X[:train_size])[:, 1]),
))
# 绘制后验概率
plt.figure()
plt.scatter(X[:train_size, 0], y[:train_size], c="k", label="训练数据", edgecolors=(0, 0, 0))
plt.scatter(X[train_size:, 0], y[train_size:], c="g", label="测试数据", edgecolors=(0, 0, 0))
X_ = np.linspace(0, 5, 100)
plt.plot(X_, gp_fix.predict_proba(X_[:, np.newaxis])[:, 1], "r", label="初始核: %s" % gp_fix.kernel_)
plt.plot(X_, gp_opt.predict_proba(X_[:, np.newaxis])[:, 1], "b", label="优化核: %s" % gp_opt.kernel_)
plt.xlabel("特征")
plt.ylabel("类别1概率")
plt.xlim(0, 5)
plt.ylim(-0.25, 1.5)
plt.legend(loc="best")
# 绘制LML景观
plt.figure()
theta0 = np.logspace(0, 8, 30)
theta1 = np.logspace(-1, 1, 29)
Theta0, Theta1 = np.meshgrid(theta0, theta1)
LML = [[gp_opt.log_marginal_likelihood(np.log([Theta0[i, j], Theta1[i, j]])) for i in range(Theta0.shape[0])] for j in range(Theta0.shape[1])]
LML = np.array(LML).T
plt.plot(np.exp(gp_fix.kernel_.theta)[0], np.exp(gp_fix.kernel_.theta)[1], "ko", zorder=10)
plt.plot(np.exp(gp_opt.kernel_.theta)[0], np.exp(gp_opt.kernel_.theta)[1], "ko", zorder=10)
plt.pcolor(Theta0, Theta1, LML)
plt.xscale("log")
plt.yscale("log")
plt.colorbar()
plt.xlabel("幅度")
plt.ylabel("长度尺度")
plt.title("对数边际似然")
plt.show()
通过上述代码，可以看到GPC模型在不同超参数设置下的表现。优化后的模型虽然在LML上表现更好，但在实际的分类任务中，其性能可能并不总是优于使用固定超参数的模型。这说明在实际应用中，需要综合考虑模型的LML值和在测试集上的表现，以选择最佳的超参数。
此外，还可以通过绘制LML景观来直观地观察不同超参数组合对模型性能的影响。这种可视化方法可以帮助更好地理解模型的行为，并指导进行超参数的选择和调整。