独立成分分析（Independent Component Analysis，简称ICA）是一种计算方法，用于从多个混合信号中恢复出独立的成分。在本例中，模拟了三个乐器同时演奏的场景，这些乐器的声音被三个麦克风记录下来，形成了混合的信号。目标是使用ICA技术来分离这些混合信号，恢复出每个乐器单独演奏的信号。值得注意的是，主成分分析（PCA）在这种非高斯过程中无法有效地恢复乐器的声音。
首先，需要生成一些样本数据来模拟上述场景。将创建三个信号，分别代表三种不同的乐器声音，并将它们混合在一起。然后，将向混合信号中添加一些噪声，并对其进行标准化处理。
import numpy as np
from scipy import signal
np.random.seed(0)
n_samples = 2000
time = np.linspace(0, 8, n_samples)
s1 = np.sin(2 * time) # 信号1：正弦波信号
s2 = np.sign(np.sin(3 * time)) # 信号2：方波信号
s3 = signal.sawtooth(2 * np.pi * time) # 信号3：锯齿波信号
S = np.c_[s1, s2, s3]
S += 0.2 * np.random.normal(size=S.shape) # 添加噪声
S /= S.std(axis=0) # 标准化数据
# 混合数据
A = np.array([[1, 1, 1], [0.5, 2, 1.0], [1.5, 1.0, 2.0]]) # 混合矩阵
X = np.dot(S, A.T) # 生成观测数据
接下来，将使用FastICA算法来拟合数据，并尝试恢复出原始的乐器声音。为了比较，还将使用PCA算法来处理同样的数据。
from sklearn.decomposition import PCA, FastICA
# 计算ICA
ica = FastICA(n_components=3, whiten="arbitrary-variance")
S_ = ica.fit_transform(X) # 恢复信号
A_ = ica.mixing_ # 获取估计的混合矩阵
# 可以通过对ICA模型的反混合来“证明”其有效性。
assert np.allclose(X, np.dot(S_, A_.T) + ica.mean_)
# 为了比较，计算PCA
pca = PCA(n_components=3)
H = pca.fit_transform(X) # 基于正交成分重建信号
最后，将绘制出混合信号、真实源信号、ICA恢复的信号和PCA恢复的信号，以便直观地比较它们之间的差异。
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure()
models = [X, S, S_, H]
names = ["观测（混合信号）", "真实源", "ICA恢复信号", "PCA恢复信号"]
colors = ["red", "steelblue", "orange"]
for ii, (model, name) in enumerate(zip(models, names), 1):
plt.subplot(4, 1, ii)
plt.title(name)
for sig, color in zip(model.T, colors):
plt.plot(sig, color=color)
plt.tight_layout()
plt.show()
通过上述代码，可以看到ICA算法能够有效地从混合信号中恢复出各个乐器的原始声音，而PCA算法则无法做到这一点。这表明ICA在处理非高斯过程的信号分离问题上具有明显的优势。
本例中使用的FastICA算法是一个强大的工具，它可以帮助在复杂的数据环境中提取出有价值的信息。通过对比ICA和PCA的结果，可以更深入地理解这两种算法在实际应用中的性能差异。