在概率论的学习中，理解随机变量的行为、特性和分布至关重要。其中，区分概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）是分析和解释连续型和离散型随机变量相关概率的关键。本文将讨论累积分布函数与概率密度函数的定义、它们的独特角色和相互作用，并提供一个解决的实例来展示PDF和CDF之间的差异。
概率密度函数（PDF）是理解连续型随机变量相关概率的一个关键工具。它提供了一个平滑的曲线，表示在可能的值上的概率分布。PDF函数并不给出特定单个值的概率，而是描述了随机变量在某个特定点周围的小区间内取值的可能性。
要理解PDF的概念，可以想象一个连续型概率分布，比如成年男性的身高。不同身高范围的概率将在PDF中显示。例如，它可能表明身高在5英尺9英寸和5英尺10英寸之间的人比身高在这个范围之外的人更多。
PDF曲线下跨越一个范围的面积表示随机变量将落在该范围内的概率。要计算一个单一值的概率，即随机变量无限接近该值的概率，必须计算PDF在该点的积分。
累积分布函数（CDF）是PDF的一个补充概念，提供了与随机变量相关概率的累积视角。与PDF的平滑曲线不同，CDF是一个在特定值处跳跃的阶梯函数。它显示了一个特定数字小于或等于随机变量的可能性。
CDF对于负值从0开始，随着随机变量值的增加稳步向1移动。对于离散型随机变量，CDF以与每个可能结果的概率相对应的步骤增加。对于连续型随机变量，它平滑增加，反映了不同区间的累积概率。
CDF将展示使用前面提到的成年男性身高示例，发现身高小于或等于某个特定值（比如5英尺9英寸）的男性的可能性。CDF使能够回答“有多少成年男性身高低于5英尺9英寸”这样的问题，通过呈现累积概率。
理解概率密度函数（PDF）与累积分布函数（CDF）如何相互作用对于理解随机变量的行为和它们的分布如何工作至关重要。两个函数提供了对随机变量值的概率的互补洞察。
之前展示了如何使用公平的六面骰子示例计算PDF与CDF。现在让探索它们之间的联系和它们关系的更深层次方面。
// 计算CDF的代码示例
let f = (t) => 16; // PDF函数
let F = (x) => {
let integral = 0;
for (let t = 1; t <= x; t++) {
integral += f(t);
}
return integral;
};
console.log(F(3)); // 计算x=3时的CDF值
通过上述代码，可以计算出在x=3时的CDF值。同样，可以使用相同的方法计算其他x值的CDF。
对于离散型随机变量，概率质量函数（PMF）与CDF之间的关系更加明显。PMF为离散型随机变量的每个特定值提供概率，而CDF则累积这些概率。
特定值x处的CDF是随机变量小于或等于x的所有概率之和。数学上，对于离散型随机变量：
F(x) = P(X ≤ x) = Σ[all values ≤ x] P(X = value)
通过累加所有小于或等于x的值的概率，获得了直到该点的累积概率，这与CDF概念一致。
现在让理解PDF和CDF之间的区别。CDF提供了随机变量小于或等于特定值‘x’的概率。PDF表示随机变量取精确值‘x’的概率。
让理解PDF和CDF的独特属性和应用：
定义：PDF描述连续型随机变量的概率分布。它显示随机变量将具有特定值的概率。通常，随机变量将具有小于或等于特定值的概率由累积分布函数或CDF确定。
表示：连续型随机变量通常使用表达式f(x)表示，其中‘x’代表变量的值。它可以应用于连续型和离散型随机变量，通常表示为F(x)，其中‘x’代表变量的值。
函数类型：PDF用于连续型随机变量，其中概率分布在无限范围的值上。CDF适用于离散型和连续型随机变量，因为它累积了随机变量所有可能值的概率。