概率论中的赔率及其变体解析

在概率论和统计学的学习过程中，经常会遇到“赔率”、“赔率比”等术语。这些概念在博彩、赛马等行业中也非常著名。本文将详细解释这些术语，并展示它们在不同领域的应用。

目录

• 引言
• 赔率
• 对数赔率
• 赔率比
• 对数赔率比
• 赔率比的用例
• 示例
• 结论
• 常见问题解答

赔率是描述事件发生可能性的一种方式，它与概率不同，但两者可以互相转换。赔率可以表达为比率或分数形式。本文将通过实例来展示赔率与概率的区别，并解释对数赔率和赔率比的概念。

赔率

赔率是指某一事件发生与不发生的比例。它也可以定义为事件发生概率与不发生概率的比率。赔率可以表示为比率或分数。重要的是，赔率不应与概率混淆。概率是事件发生与总事件（事件发生+不发生）的比率。赔率可以从概率中得出，反之亦然。

以一个足球队为例，该队共进行了100场比赛，赢了25场，输了75场。可以计算如下的赔率和概率：

注意，赔率的范围可以从0到无穷大，而概率的范围是0到1。赔率不是概率，但可以从概率计算得出，反之亦然。赔率可以是支持事件发生的，也可以是反对事件发生的。

对数赔率

在前面的例子中，计算了球队获胜的赔率是0.33，而反对球队获胜的赔率是3。这是一个简单的100场比赛的例子。考虑一个假设的情况，如果一支球队进行了1000场比赛，只赢了25场，输了975场。在这种情况下，球队获胜的赔率将是0.0256，而反对球队获胜的赔率将是39。

由于这种赔率之间的巨大差异，需要对其进行标准化处理，这就是对赔率进行对数变换的主要原因。对数变换赔率的另一个好处是，一旦变换，其分布将变得对称，这对于二元分类问题非常有用。

使用概率计算对数赔率的公式如下：

这个公式也与在逻辑回归中使用的Logit变换公式相同。下面的例子将进一步说明对数赔率的必要性。

赔率比

顾名思义，赔率比是两个赔率的比率。尽管“赔率”本身也是一个比率，但“赔率”和“赔率比”并不相同。赔率是事件发生与不发生的比率，而赔率比是两个赔率（赔率1和赔率2）的比率。赔率比是解释逻辑回归算法输出的重要概念，它也用于测量事件之间的关联性。

对数赔率比

正如在赔率的情况下看到的，赔率比的值范围可以从0到无穷大。当赔率比的分子小于分母时，赔率比的值小于1；当分子大于分母时，值大于1（可达到无穷大）。与赔率值类似，由于这两个值的量级可能不同，使用对数标准化赔率比是方便的。一旦这样做，赔率比的分布将变得正常。

赔率比的用例

在医学领域，赔率比用于定义暴露和结果之间的关系。例如，吸烟和肺癌的影响。在这种情况下，赔率比定义了一个人吸烟而患肺癌的赔率与不吸烟而患肺癌的赔率。

示例

考虑吸烟及其对肺癌影响的例子，如果形成一个显示吸烟者和非吸烟者引起肺癌影响的2x2表格，表格将如下所示：

在319名患者中，160人是吸烟者，159人是非吸烟者。134人患有癌症，185人没有癌症。100人吸烟且患有癌症，60人吸烟但没有癌症。34人不吸烟但患有癌症，125人不吸烟且没有癌症。

如何将对数赔率转换为概率？

要将对数赔率转换为概率，应用以下公式：probability = e^log_odds / (1 + e^log_odds)

什么是加权对数赔率？

WLO是对数赔率比（LOR）的修改版本，它考虑了特征和目标变量的频率，使其对罕见特征不太敏感，对常见特征更敏感。它通常用于文本分析和机器学习中以识别相关特征。

贝叶斯规则的对数赔率形式是什么？

贝叶斯规则的对数赔率形式简化了计算，并提供了对相对可能性的更直观理解。它将后验赔率表示为先验赔率和对数似然比的总和。