在数据分析中，经常需要确定变量X和Y之间的关系，并用一条直线来表示这种关系。但是，问题在于如何确定这条直线能够最好地代表X和Y之间的关系。为了解决这个问题，可以使用均方误差（Mean Squared Error，简称MSE）作为衡量标准。在线性回归中，MSE实际上就是成本函数。均方误差是预测值与真实值之间差的平方和，输出是一个单一数值，代表成本。因此，具有最小成本函数或MSE的直线就是X和Y之间关系的最佳表示。一旦找到了斜率和截距，使得这条直线的误差最小，就可以使用这条直线来预测Y值。
本文将介绍如何计算不同直线的误差/成本，并找到成本函数，进而用于预测。如果对以音视频形式学习概念更感兴趣，有整个文章的视频解释。如果不感兴趣，可以继续阅读。
知道任何直线都可以用两个参数表示：斜率（β）和截距（b）。一旦有了直线，总是可以计算这条直线与底层数据点之间的误差（也称为成本或损失），目标是找到误差最小的直线。这基本上变成了一个优化问题。让通过一个练习来看看不同值的β和b的误差是多少，然后问题是如何找到这两个参数的最优化值。
首先，将导入必要的库，包括matplotlib、pandas和scikit-learn来计算误差：
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
from sklearn.metrics import mean_squared_error as mse
创建了一个关于经验和薪水的数据集。创建了一个列表，然后简单地将其转换为Pandas DataFrame：
import pandas as pd
# 创建样本数据集
experience = [1.2,1.5,1.9,2.2,2.4,2.5,2.8,3.1,3.3,3.7,4.2,4.4]
salary = [1.7,2.4,2.3,3.1,3.7,4.2,4.4,6.1,5.4,5.7,6.4,6.2]
data = pd.DataFrame({ "salary" : salary, "experience" : experience })
print(data.head())
可以看到数据集的前五行。
现在让通过探索薪水和经验之间的关系来探索数据集。让使用Matplotlib绘制这个关系：
plt.scatter(data.experience, data.salary, color = 'red', label = '数据点')
plt.xlim(1,4.5)
plt.ylim(1,7)
plt.xlabel('经验')
plt.ylabel('薪水')
plt.legend()
可以看到经验和薪水之间的线性关系。这就是预期的。那么现在让开始绘制使用不同β和b值的直线。
首先，将取β=0.1和b=1.1，将使用这两个参数创建一条直线，并将其绘制在散点图上。现在，取值并应用这种关系来创建每条直线，然后将这些直线绘制在上述创建的散点图上。
beta = 0.1
# 保持截距不变
b = 1.1
# 存储预测点
line1 = []
# 为每个数据点生成预测
for i in range(len(data)):
line1.append(data.experience[i]*beta + b)
# 绘制直线
plt.scatter(data.experience, data.salary, color = 'red')
plt.plot(data.experience, line1, color = 'black', label = '直线')
plt.xlim(1,4.5)
plt.ylim(1,7)
plt.xlabel('经验')
plt.ylabel('薪水')
plt.legend()
MSE = mse(data.salary, line1)
已经为β=0.1和b=1.1绘制了这条直线，这条直线的MSE是2.69。现在可以看到直线的斜率非常小，所以想尝试一个更大的斜率，而不是β=0.1，让将其改为β=1.5：
beta = 1.5
这是β=1.5和b=1.1的直线，这条直线的MSE是6.40。可以看到更好的斜率，但它可能比实际想要的要大。所以正确的值可能在0.1和1.5之间，让试试β=0.8：
beta = 0.8
这是β=0.8和b=1.1的直线，可以看到均方误差已经降到了0.336。已经尝试了三条不同的直线，每条直线都有不同的MSE；第一条是2.69，第二条是6.4，第三条是0.33。现在可以继续尝试各种β值。所以现在可以尝试不同的Beta值，并看看β和均方误差（MSE）之间的关系，对于固定值的截距即b。所以不改变b。
让创建一个称之为Error的函数，这个函数的作用是对于给定的β值，它基本上给了这些数据点的MSE。这里b是固定的，尝试不同的Beta值。
def Error(Beta, data):
# b是常数
b = 1.1
salary = []
experience = data.experience
# 循环计算预测薪水变量
for i in range(len(data.experience)):
tmp = data.experience[i] * Beta + b
salary.append(tmp)
MSE = mse(data.salary, salary)
return MSE
现在要尝试所有0到1.5之间的Beta值，增量为0.01，然后将所有内容附加到一个列表中：
slope = [i/100 for i in range(0,150)]
Cost = []
for i in slope:
cost = Error(Beta = i, data = data)
Cost.append(cost)
当这个完成后，只需将其转换为这个就是数据框架：
Cost_table = pd.DataFrame({
'Beta' : slope,
'Cost' : Cost
})
Cost_table.head()
这个数据框架显示，对于Beta值为0.00，得到的成本或MSE是3.72，对于beta=0.04，得到的成本=3.29。让快速可视化这个：
plt.plot(Cost_table.Beta, Cost_table.Cost, color = 'blue', label = '成本函数曲线')
plt.xlabel('Beta值')
plt.ylabel('成本')
plt.legend()
这是得到的图表。所以如所见，成本在0时大约是3.72，这是起始值。之后，随着Beta值的增加，误差降低，达到最小值，然后开始增加。
现在的问题是，知道这种关系，如何找到β和b的值，以便可以找到成本最小化的具体位置。
现在，当有两个参数时，意思是，现在假设b是0.1，但实际上想要做的是随着b和β的变化而变化，在这种特定情况下，得到的曲线是：
所以再次，这只是3D图表，所以有两个维度，但它将再次有一个最小值，想法是找到这个最小值。但不能像以前那样迭代地做。所以需要找到一种更聪明的方式来找到这个最小值，这就是梯度下降技术发挥作用的地方。
在本文中，学习了如何计算不同直线的误差以及如何找到最优直线。