在之前的文章中，已经定义了概率分布并简要讨论了不同的离散概率分布。本文将继续探讨连续概率分布。连续随机变量可以在给定区间内取无限多个值。例如，在区间[2, 3]中，2和3之间有无限多个值。连续分布是由概率密度函数（PDF）定义的，而不是概率质量函数。连续随机变量取某一确切值的概率总是等于零。连续概率定义在区间上。例如，P(X=3)=0，但可以通过在区间[2.99, 3.01]上积分PDF来计算P(2.99 以下是一些最常用的连续概率分布： 均匀分布既有连续形式也有离散形式。这里讨论连续形式。这种分布在随机变量的值出现概率相等时使用。最常见的例子是掷一个公平的骰子。在这里，所有6个结果都同样可能发生。因此，概率是恒定的。考虑一个例子，其中a=10，b=20，分布如下所示：PDF由下式给出，其中a是最小值，b是最大值。 这是最常讨论的分布，也是在现实世界中最常遇到的分布。许多连续分布在样本量足够大时往往趋向于正态分布。这个分布有两个参数，即均值和标准差。这个分布有许多有趣的性质。均值具有最高的概率，所有其他值在均值的两侧对称分布。标准正态分布是一个特殊情况，其中均值为0，标准差为1。它还遵循经验公式，68%的值在1个标准差范围内，95%的值在2个标准差范围内，99.7%的值在3个标准差范围内。这个性质在设计假设检验时非常有用。PDF由下式给出，其中μ是随机变量X的均值，σ是标准差。 这种分布在随机变量的对数值遵循正态分布时使用。考虑随机变量X和Y。Y=ln(X)是在这个分布中表示的变量，其中ln表示X值的自然对数。PDF由下式给出，其中μ是Y的均值，σ是Y的标准差。 学生t分布与正态分布相似。不同之处在于分布的尾部更厚。当样本量小且总体方差未知时使用这个分布。这个分布由自由度（p）定义，计算公式为样本量减1（n-1）。随着样本量的增加，自由度增加，t分布接近正态分布，尾部变窄，曲线更接近均值。当样本量小于30且总体方差未知时，这个分布用于测试总体均值的估计。样本方差/标准差用于计算t值。PDF由下式给出，其中p是自由度，Γ是伽马函数。 这个分布等于p个正态随机变量平方和。p是自由度的数量。像t分布一样，随着自由度的增加，分布逐渐接近正态分布。PDF由下式给出，其中p是自由度，Γ是伽马函数。卡方值的计算公式如下： 其中o是观测值，E代表期望值。这在假设检验中用于推断正态分布的总体方差。 回想在离散概率分布中讨论的泊松分布。在那个例子中，考虑了每小时平均来电次数。现在，在这个分布中，解释了连续来电之间的时间。指数分布可以看作是泊松分布的逆。考虑的事件是相互独立的。PDF由下式给出，其中λ是速率参数。λ=1/(事件之间的平均时间)。f(x) = \frac{1}{b-a} \quad \text{for} \quad a \leq x \leq b
f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
f(y) = \frac{1}{y\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\ln y - \mu)^2}{2\sigma^2}} \quad \text{for} \quad y > 0
f(t) = \frac{\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)}{\sqrt{p\pi}\Gamma\left(\frac{p}{2}\right)}\left(1+\frac{t^2}{p}\right)^{-\frac{p+1}{2}}
χ^2 = \sum_{i=1}^{p} (Z_i - \mu)^2
f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad \text{for} \quad x \geq 0