生存分析及其应用

生存分析是一种统计方法，用于分析在特定时间段内事件发生前的数据集。例如，分析一个人在多少年内可能患上糖尿病或心脏病的风险，就是生存分析的一个典型应用。生存分析在制药行业尤其常用。

在之前的文章中，已经讨论了生存分析的用例以及非参数和半参数生存分析。为了更好地理解本文，建议先阅读这些文章。本文将介绍以下内容：

• 参数分析的基础知识，以从生存分析中得出详细且可操作的洞察。
• 如何在参数生存模型中找到合适的分布？
• 参数生存模型中使用的不同函数及其应用。

首先，来理解不同类型的生存分析之间的区别。生存分析与传统的回归和分类问题模型不同，因为它模拟了两个不同的参数。为了详细了解生存分析，可以参考之前的文章。然而，在本文中，也会讨论这三种分析类型之间的区别。

在参数模型中，假设生存曲线的分布。在拟合模型之前，需要知道生存曲线的形状以及最适合这种形状的函数。为此，需要构建一个非参数模型，并了解风险函数和生存曲线的形状。

参数模型中使用的生存/风险函数分布类型

在进行生存分析时，通常假设以下五种分布类型。这些分布的名称来自于失败函数的概率分布类型。以下是通常在参数模型中使用的五种概率分布曲线。每种分布都在下面详细解释：

• 正态分布
• 均匀分布
• 指数分布
• 威布尔分布
• 对数正态分布

对于这些分布，首先需要理解以下图表：

1. 寿命分布函数（F）：这是在时间“T”之前发生故障的概率。
2. 寿命概率分布（f）：F的微分将给概率分布。所有分布函数的名称都基于这个概率分布。
3. 生存函数（S）：生存是寿命的倒数。它是一减去寿命分布。
4. 风险函数（Lambda）：风险函数是事件发生的速率。风险函数可以从生存函数推导出来，如下所示：
5. 累积风险函数：这只是风险函数的积分，如下所示：

通过积分风险函数方程，得到以下方程：

在每种情况下，将参考以下两个图表（这些是选择分布的重要图表）：

• 风险函数
• 生存函数

当故障风险随时间显著增加时，假设这种类型的分布。因此，故障概率突然增加。

均匀分布在现实世界中不常见。生存曲线是从100%到0%的直线。风险函数呈指数增长，迫使每个观察值在结束时死亡。

指数分布是生存模型中常见的假设之一。风险函数不随时间变化。这种分布在人类自然死亡的情况下可以假设，其中速率在时间上变化不大。

威布尔分布有一个参数gamma，可以优化以获得不同分布的风险函数。以下是一些将说明同样情况的场景：

从多种场景中可以看出，gamma可以改变威布尔风险函数从急剧下降到恒定函数再到加速增加。因此，它适合实际世界中的多种情况。

这是另一种可以优化以适应不同风险函数的分布。对数正态分布可以与威布尔分布互补，以模拟几乎所有场景。

生存分析的应用

要了解应用，让回顾一下生存分析的使用案例，并根据预期的分布拟合最佳曲线。

作业：在查看答案之前，尝试在每种情况下找到最佳拟合分布。

因为创新不偏向任何特定原因，风险函数是一条恒定线。因此，以下是风险函数、生存函数和概率分布函数：

癌症随着时间的推移而恶化，因此生存率更快地恶化。以下是风险函数、生存函数和概率分布函数：

每当有恶化的冲击影响时。例如：手术后患者的状况，其中不利的风险随时间降低。以下是风险函数、生存函数和概率分布函数：

像猪流感或结核病这样的疾病有急剧的影响。如果患者能在这些疾病的初期存活下来，随着时间的推移，死亡的危险逐渐减少。以下是风险函数、生存函数和概率分布函数：

每个案例的合适分布

现在让思考每种情况下哪种分布最合适：

• 案例1：指数和威布尔都可以用于这种情况，因为风险函数是一条恒定曲线。
• 案例2：可以使用gamma = 2的威布尔函数，因为风险函数是一条线性增加的曲线。
• 案例3：这是本文的作业。不会在本文中找到直接答案，但有了良好的基础理解，应该能够解决这个问题。
• 案例4：这是使用对数正态分布的经典案例。风险函数显示了一个峰值，因此对数正态分布，sigma小于1，适合这种情况。