在本文中，将展示大约两个月的工作成果。最初对分形感兴趣，最终完成了一个能够在大约2秒内生成Mandelbrot集的程序。这个项目极大地帮助了学习编程，尤其是在优化和效率方面。
首先，需要使用复数，每个复数都有一个“实部”和“虚部”。这可以写成：
Z = x + i * y
其中x是实部，y是虚部。i对应于虚数中的“i”。由于复数有两个部分（x，y），可以在x-y图上绘制它们。在案例中，将它们绘制在图像上。每一行像素对应一组复数Z，它们都有相同的y值，每个x像素的增量代表x值的一步。
现在，将计算某个x，y值范围内的集合。然后为每个x，y坐标分配一个像素，例如x = 0.3，y = 0.2。这个像素的颜色将使用Mandelbrot方程计算。
方程是：
Z_(n+1) = Z_n^2 + c
其中c是绘制给定像素的坐标，坐标c = x + i * y。n是迭代次数，从n = 0开始，也从Z_0 = 0 + i * 0开始。所以，在n = 0时，Z_(n+1) = Z_1 = Z_0^2 + c = c。所以Z_1 = c。
现在可以将这个Z值放入方程中得到Z_2。在n = 1时，Z_(n+1) = Z_2 = Z_1^2 + c。继续这样迭代，每次迭代生成Z_(n+1)。
但是应该在什么时候停止迭代呢？每次得到一个新的Z_(n+1)值，也会计算一个叫做复模的东西，写成：
| Z_(n+1) |
它是使用勾股定理计算三角形斜边的长度：
| Z_(n+1) | = √(x^2 + y^2)
Mandelbrot告诉，如果| Z_(n+1) | ≤ 2，就停止迭代，否则继续迭代。计算在方程收敛（停止迭代）之前完成的迭代次数n。n值用于表示c = x + i * y处像素的颜色。
集合中有一些部分的n看起来是无限的，或者至少变得如此之大，以至于不可能继续迭代。设置一个最大迭代次数nMax，并总是停止迭代如果n达到nMax。
事实证明nMax相当重要！一个较大的nMax需要更长的时间来计算，但可以显示非常精细的细节，接近Mandelbrot方程收敛（彩色部分）和发散（白色）的地方之间的边界。然而，一个低nMax也可以产生很好的图像，因为颜色尺度可以很好地工作。
请注意：在程序中，k用作迭代计数，kMax用作最大迭代次数。
决定让程序不仅仅是生成主Mandelbrot集，所以它有一些其他特性。添加了一个缩放功能，可以通过点击鼠标来设置想要缩放的量，并渲染新图像。当然，放大得越多，就需要更多的迭代来支持高细节。
能够在“收藏夹”功能中保存Mandelbrot集的一个区域。这会将图像的所有参数保存到一个文本文件中，可以从中读取以加载收藏夹。
每次渲染新图像时，它都会将用于创建图像的参数保存到一个文本文件中。这样，可以使用“撤销”功能返回到图像。
除了显示上次渲染所花费的时间的计时器外，认为保存图像的功能也很不错。图像以PNG格式保存，可以选择一个文件名。
所有保存的文件都存储在C:\Users\%username%\mandelbrot_config中。
该程序是一个Windows表单应用程序。它可以在Microsoft Visual Studio环境中启动。或者，可执行文件可以作为普通的Windows应用程序运行。
用户界面是自解释的，控制允许绘制x，y坐标的范围，允许的最大迭代次数，分辨率（像素步长）和缩放控制。此外，还有其他在本文的“特性”部分提到的控制。
有四个C#类，用途如下：
用于绘制Mandelbrot集的主要代码块如下：
for (double y = yMin; y < yMax; y += xyStep.y) {
int xPix = 0;
for (double x = xMin; x < xMax; x += xyStep.x) {
ComplexPoint c = new ComplexPoint(x, y);
ComplexPoint zk = new ComplexPoint(0, 0);
int k = 0;
do {
zk = zk.doCmplxSqPlusConst(c);
modulusSquared = zk.doMoulusSq();
k++;
}
while ((modulusSquared <= 4.0) && (k < kMax));
if (k < kMax) {
if (k == kLast) {
color = colorLast;
} else {
color = colourTable.GetColour(k);
colorLast = color;
}
if (xyPixelStep == 1) {
if ((xPix < myBitmap.Width) && (yPix >= 0)) {
myBitmap.SetPixel(xPix, yPix, color);
}
} else {
for (int pX = 0; pX < xyPixelStep; pX++) {
for (int pY = 0; pY < xyPixelStep; pY++) {
if (((xPix + pX) < myBitmap.Width) && ((yPix - pY) >= 0)) {
myBitmap.SetPixel(xPix + pX, yPix - pY, color);
}
}
}
}
}
xPix += xyPixelStep;
}
yPix -= xyPixelStep;
}
上面的if...else...语句用于处理分辨率。如果像素步长大于1，分辨率将降低，以便在绘制最终图像时没有空白。如果像素步长为1，则图像将正常绘制，即以尽可能高的最高分辨率绘制。
请注意，上面的循环中y像素计数是递减的，而x是递增的。这是因为绘图区域的原点（x，y = 0, 0）在屏幕的左上角。希望从左下角开始绘制图像，然后向右上角工作。这意味着y从其最大值开始。
正如在引言中提到的，学会了如何优化代码。在写这篇文章之前，用程序渲染Mandelbrot集需要相当长的时间：10分钟。上传的这个版本大约需要2秒（AMD A8），而一台快速的PC可以在不到1秒的时间内完成（AMD FX-8350）。
一个关键的性能改进来自于图像的渲染方式。在这个程序的第一个版本中，使用了System.Drawing，每个Mandelbrot集中的像素都被绘制成一个椭圆。这非常消耗CPU。此外，在高分辨率（小像素步长）下绘制时，每个使用System.Drawing绘制的椭圆都与相邻像素重叠，导致图像略微模糊。上传的这个程序版本使用了bitmap，它克服了这些问题，并且还允许在表单隐藏或最小化时保留图像。
颜色映射用于将迭代值n转换为像素颜色。许多人投入了时间研究不同的颜色映射，大多数使用某种查找表，通常还使用某种插值算法。
解决方案非常简单但也非常有效 - 认为生成的图像和任何其他图像一样好。它的工作原理如下：
for iterationCountN, calculate:
hue = (n/nMax) * α
其中α是一个小数，目前设置为0.2。色调很容易转换为标准RGB，使用固定的饱和度（s）和亮度（l）值，即转换：
n → hsl colour → rgb colour.