杨辉三角，也称为帕斯卡三角，是一个由数字组成的三角形阵列，其中每一行的数字都是由上一行的数字相加得到的。这种三角阵列不仅在数学上具有独特的规律性，而且在计算机科学、组合数学以及概率论等多个领域都有广泛的应用。本文将从杨辉三角的历史、数学特性以及编程实现等多个角度进行探讨。
杨辉三角的历史可以追溯到公元10世纪的阿拉伯数学家阿尔·卡拉吉。随后，包括波斯的奥马尔·海亚姆、中国的贾宪、杨辉、伊朗的阿尔·卡西、德国的迈克尔·斯蒂费尔、意大利的尼科洛·塔尔塔利亚等在内的多位数学家都对杨辉三角进行了研究。其中，法国数学家布莱兹·帕斯卡对杨辉三角的规律性进行了系统的研究，并发表了《算术三角形论》。帕斯卡不仅是一位哲学家、物理学家、神学家和作家，还发明了世界上第一台数字计算器，被认为是计算机发明的先驱之一。
杨辉三角的每一行的数字都遵循特定的数学规律。对于第L行第C列的数字，如果C等于0或者L等于C，则该数字为1；如果L大于等于C，则该数字等于第L-1行第C列的数字加上第L-1行第C-1列的数字。此外，杨辉三角的每一行的数字都是二项式展开的系数。例如，二项式(a+b)^2的展开系数就是杨辉三角的第三行。
#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <iomanip>
using namespace std;
int main(int argc, char *argv[]) {
int N;
cout << "The Pascal's Triangle\n";
cout << "Enter the number of lines: ";
cin >> N;
int T[N][N];
// generates Triangle using the Stifel's Relation
for (int L = 0; L < N; L++) {
for (int C = 0; C <= L; C++) {
if ((C == 0) || (L == C)) {
T[L][C] = 1;
} else {
T[L][C] = T[L-1][C] + T[L-1][C-1];
}
}
}
// Print triangle
for (int L = 0; L < N; L++) {
for (int C = 0; C <= L; C++) {
cout << setw(6) << T[L][C];
}
cout << "\n";
}
return 0;
}
def triangulo(n, k):
if (k == 0) or (k == n):
return 1
else:
return triangulo(n-1, k-1) + triangulo(n-1, k)
print "The Pascal's Triangle"
num = int(input('Enter the number of lines: '))
for n in range(0, num):
for k in range(0, n+1):
print(triangulo(n, k), end=' ')
print()
pascal :: Int -> [[Integer]]
triangulo = iterate (\row -> zipWith (+) ([0]++row) (row++[0])) [1]
pascal n = take n triangulo