在本文中，将探讨一个应用程序，该程序通过不同的初始参数展示了双摆系统在位置空间中的运动，并在Poincaré映射中可视化了其长期行为。此外，还增加了3D视图，以在相空间中可视化运动，并提供了加载不同能量的Poincaré映射的功能。
如前文所述，双摆系统具有四个自由度：两个摆锤的角度和角速度（Θ1, Θ2, ω1 和 ω2）。为了求解运动方程，转换到广义坐标更为方便，这里指的是角度和角动量（Q1, Q2, L1 和 L2）。
当摆锤运动时，它在由Q1, Q2, L1 和 L2 构成的四维相空间中沿着一条路径移动：相空间轨迹。如果运动是周期性的，轨迹是一个闭合曲线，因为运动在某个时间点会重复。对于准周期运动，轨迹不再是闭合的，而是形成规则的结构；而对于混沌运动，轨迹则是完全不规则的，就像一团意大利面。
由于三维的局限性，无法在四维空间中观察摆锤的运动。但可以使用建筑师在规划三维建筑时创建二维图纸的相同技巧：他们不是创建一个单一的三维视图，而是创建几个二维视图，分别从顶部、前面和侧面展示建筑。在这些视图中，第三维被简单地忽略了。
在案例中，可以创建四个3D视图，从不同的角度展示四维轨迹。可能的截面包括：(Q1, Q2, L1), (Q1, Q2, L2), (L1, L2, Q1) 和 (L1, L2, Q2)。
如果解压了演示项目，会有一个名为“Data”的文件夹，其中包含了在不同能量下成千上万次模拟的Poincaré点。每个能量都有一个单独的子文件夹。如果自己构建代码，需要将该文件夹移动到VS解决方案的“bin”目录中。
应用程序启动时，会读取“Data”文件夹的子目录，并在主窗口的右侧显示它们。通过选择其中一个，加载对应能量的所有模拟的Poincaré点，并重新创建Poincaré映射。
现在可以通过在映射中的某个点上进行右键单击来开始新的模拟。通过再次右键单击或使用2D视图中的“开始/停止”按钮来停止模拟。
如果想放大映射，只需按住鼠标左键并将其拖动到右下角。拖动到左上角将会缩小。短距离拖动将缩小一个级别，而长距离拖动将显示完整的映射。
3D视图显示摆锤本身或四个相空间截面中的一个。使用顶部的按钮在它们之间切换。每次切换视图时，相空间中的轨迹都会重新创建。因此，需要运行模拟才能在这里看到东西。
在非常低的能量下，摆锤的运动主要受两个周期状态的支配：同相位和反相位运动。任何严格非周期的运动都属于这些状态之一，并且是准周期的。这是能量为0.1的Poincaré映射：
上部区域的白色斑点代表同相位运动，而下部区域的黄色斑点代表反相位运动。如果读过关于摆锤的第一篇文章，可能会记得，在低能量下，简单摆锤的相空间轨迹只是一个圆。因此，双摆锤在同相位运动中显示出类似的简单性并不奇怪：
反相位运动的轨迹也非常简单：
那么准周期运动呢？如果在同相位共振点附近启动模拟，并让摆锤运动几次振荡，轨迹看起来像这样：
正如可能想到的，轨迹不会重复，但它也不会远离周期路径，从而在那条周期曲线周围形成一个漂亮的图案。如果现在将初始点从同相位共振点移得更远，比如说在同相位和反相位吸引子之间，图案扩展到这个美丽的环：
如果能量更高，新的周期运动会出现，如这个能量为0.3的Poincaré映射所示：
在左侧或右侧的洋红色吸引子中心启动模拟将导致这样的轨迹：
路径仍然是闭合的，但比之前的单一共振点更复杂。一般来说，Poincaré图中共振点的数量与轨迹的复杂性之间存在相关性。下一张图片显示了能量为2.2的三重共振的轨迹：
这里是能量为1的Poincaré图中有5个点的周期运动：
肯定会同意，这些周期和准周期运动的轨迹看起来很棒，实时观察它们在不同能量下的运动确实很有趣。但肯定缺少了一张图片。混沌！在能量为3.8时它看起来像这样：
就是这样！
双摆系统文章的第二部分增加了5000多次模拟的Poincaré映射数据，并能够查看摆锤在相空间截面中的运动。希望能喜欢！