旅行商问题（Travelling Salesman Problem, TSP）是一个经典的组合优化问题，要求找到访问一组城市并返回出发点的最短可能路线。本文将介绍如何使用动态规划（Dynamic Programming, DP）算法来解决这个问题，并提供一个实际的算法实现。
在寻找旅行商问题的算法实现时，发现现有的资源要么不够详细，要么实现不够完善。因此，决定自己实现这个算法，并希望它能够帮助到需要的人。
动态规划的核心思想可以概括为两部分：
简单来说，算法接受两个输入：起始顶点 vertex 和需要访问的顶点列表 vertices。面临两种情况：
vertices 为空，那么不需要做任何工作，直接返回起始点到 vertex 的距离。vertices 不为空，需要减少问题空间：vertices 中的每个顶点 newV 作为起始点。newV 作为起始点，需要调整需要访问的顶点列表，通过从 vertices 中移除 newV 来实现。newV 的成本加上从 newV 出发访问剩余顶点的成本（这实际上是再次调用算法，但输入是 newV 和 newVertices）。假设有一个双向图，其距离矩阵如下：
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 0 | 10 | 15 | 20 |
| 5 | 0 | 9 | 10 |
| 6 | 13 | 0 | 12 |
| 8 | 8 | 9 | 0 |
起始顶点是1，希望访问顶点 {2,3,4}。假设函数名为 g，那么想要的是：
g(1,{2,3, 4})
这可以分解为获取最小值：
c12 + g(2,{3, 4})
c13 + g(3,{2,4})
c14 + g(4,{2,3})
其中 c12 是从 (1) 到 (2) 的成本，c13 是从 (1) 到 (3) 的成本，依此类推。
通过逐步计算，可以得到最终的最短路径成本。
为了实现这个算法，定义了一个树状数据结构来模拟算法的分支过程，标记每次选择成本最低的节点。算法结束后，遍历这棵树，只检查被标记为选中的顶点。
以下是C#语言的代码实现：
private class Node {
public int Value { get; set; }
public Node[] ChildNodes { get; set; }
public bool Selected { get; set; }
}
private double GetMinimumCostRoute(int startVertex, HashSet set, Node root) {
if (!set.Any()) {
// source node is assumed to be the first
root.ChildNodes = new Node[1] {
new Node { Value = _vertices.First(), Selected = true }
};
return _adjacencyMatrix[startVertex, 0];
}
double totalCost = double.MaxValue;
int i = 0;
int selectedIdx = i;
root.ChildNodes = new Node[set.Count()];
foreach (var destination in set) {
root.ChildNodes[i] = new Node { Value = destination };
double costOfVistingCurrentNode = _adjacencyMatrix[startVertex, destination];
var newSet = new HashSet(set);
newSet.Remove(destination);
double costOfVisitingOtherNodes = GetMinimumCostRoute(destination, newSet, root.ChildNodes[i]);
double currentCost = costOfVistingCurrentNode + costOfVisitingOtherNodes;
if (totalCost > currentCost) {
totalCost = currentCost;
selectedIdx = i;
}
i++;
}
root.ChildNodes[selectedIdx].Selected = true;
return totalCost;
}