在数学的广阔天地中，黄金分割比（φ）是一个引人入胜的概念，它不仅在艺术和建筑中有着广泛的应用，而且在数学的许多领域中也扮演着重要的角色。本文将探讨一个基于黄金分割比定义的序列，并尝试寻找其封闭形式。
首先，定义序列 \(a(n)\) 如下： \[ a(n) = \left\lfloor n \cdot \varphi + \frac{1}{2} \right\rfloor \] 其中 \(\varphi\) 是黄金分割比，其值约为 1.618033988749895。这个序列的特点是，它将自然数 \(n\) 映射到另一个自然数 \(a(n)\)，通过黄金分割比的线性变换和向下取整操作。
接下来，考虑序列的 \(k\) 次迭代 \(a^{\circ k}(n)\)，即： \[ a^{\circ k}(n) = \underbrace{a(a((...a(n)...)))}_{k \text{ 次}} \] 通过计算序列的前几个值，发现它与 A007067 序列相匹配，该序列具有一个有趣的性质： \[ a(a(n)) = a(n) + n \] 这个结果在 2006 年得到了证明。现在，让展示这个性质的证明。
命题 1： \[ \left\lfloor \frac{a(n)}{\varphi} + \frac{1}{2} \right\rfloor = n \] 根据向下取整的定义 \(x - 1 < \lfloor x \rfloor \leq x\)，有： \[ n \varphi - \frac{1}{2} < a(n) \leq n \varphi + \frac{1}{2} \iff n - \frac{1}{2\varphi} < \frac{a(n)}{\varphi} \leq n + \frac{1}{2\varphi} \] \[ n + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\varphi} < \frac{a(n)}{\varphi} + \frac{1}{2} \leq n + \frac{1}{2} + \frac{1}{2\varphi} \] 由于 \(1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi\) 且 \(\frac{1}{2} - \frac{1}{2\varphi} > 0\)，因此： \[ n < n + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\varphi} < \frac{a(n)}{\varphi} + \frac{1}{2} \leq n + \frac{\varphi}{2} < n + 1 \] 或者 \[ n < \frac{a(n)}{\varphi} + \frac{1}{2} < n + 1 \Rightarrow \left\lfloor \frac{a(n)}{\varphi} + \frac{1}{2} \right\rfloor = n \]
命题 2： \[ a(a(n)) = a(n) + n \] 显然 \(a(n) \in \mathbb{N}\)，因此： \[ a(a(n)) = \left\lfloor a(n) \cdot \varphi + \frac{1}{2} \right\rfloor = \left\lfloor a(n) \cdot \left(1 + \frac{1}{\varphi}\right) + \frac{1}{2} \right\rfloor = a(n) + \left\lfloor \frac{a(n)}{\varphi} + \frac{1}{2} \right\rfloor \] 应用命题 1，得到： \[ ... = a(n) + n \]
现在回到原始问题，通过使用 \((1)\)，可以观察到： \[ a^{\circ 2}(n) = a(a(n)) = F_2 \cdot a(n) + F_1 \cdot n \] \[ a^{\circ 3}(n) = a(a(a(n))) = a(a(n)) + a(n) = 2 \cdot a(n) + n = F_3 \cdot a(n) + F_2 \cdot n \] \[ a^{\circ 4}(n) = a(a(a(a(n)))) = 2 \cdot a(a(n)) + a(n) = 3 \cdot a(n) + 2n = F_4 \cdot a(n) + F_3 \cdot n \] 通过归纳，可以得出： \[ a^{\circ k}(n) = F_k \cdot a(n) + F_{k-1} \cdot n \tag{2} \] 因为： \[ a^{\circ (k+1)}(n) = a^{\circ k}(a(n)) = F_k \cdot a(a(n)) + F_{k-1} \cdot a(n) = (F_k + F_{k-1}) \cdot a(n) + F_k \cdot n = F_{k+1} \cdot a(n) + F_k \cdot n \]
这个序列的探索不仅展示了数学的美感，也揭示了数学中一些深刻的概念和定理。通过这个序列，可以看到数学的严谨性和创造性，以及它在解决复杂问题时的力量。
在探索这个序列的过程中，不仅需要理解数学公式和定理，还需要掌握数学的逻辑推理和证明技巧。这要求具备扎实的数学基础和敏锐的洞察力。