高斯多变量分布，也称为多元正态分布，是统计学中一种非常重要的分布类型。它由均值向量和协方差矩阵参数化。在实际应用中，高斯多变量分布常用于描述多维随机变量的概率分布。本文将介绍高斯多变量分布的基本概念、参数定义，以及如何在编程中实现其概率密度函数的计算。
高斯多变量分布的数学表达式为：
f(x_1, ..., x_k) = 1 / √((2π)^k |Σ|) * exp(-1/2 (x - μ)^T Σ^(-1) (x - μ))
其中，μ 是一个 N×1 的均值向量，Σ 是一个 N×N 的协方差矩阵，|Σ| 是协方差矩阵的行列式。
在编程实现高斯多变量分布的概率密度函数时，通常会采用一些数学库来简化计算。例如，在 C# 中，可以使用 OpenCV 的 cv::Mat 数据结构来存储数据，并将其映射到 Eigen 库的 Eigen::MatrixXf 数据结构中，以便于进行矩阵运算。
首先，需要定义函数来设置均值向量和协方差矩阵。以下是 C# 语言中的示例代码：
void setMean(cv::Mat &v) {
Map> mappedMat(
(float*)v.data(), 1, v.size());
_mu = mappedMat;
}
void setSigma(cv::Mat &v) {
Map> mappedMat(
(float*)v.data, v.rows, v.cols);
_Sigma = mappedMat;
_dim = v.rows;
_det = _Sigma.determinant();
_scale = 1.f / (pow(2 * PI * _dim * _det, 0.5));
_invsigma = _Sigma.inverse();
}
在计算概率密度之前，需要将输入数据转换为 Eigen 库中的矩阵格式：
MatrixXf setData(cv::Mat &v) {
Map> mappedMat(
(float*)v.data, 1, v.cols);
MatrixXf ref = mappedMat;
return ref;
}
接下来，根据高斯多变量分布的公式计算概率密度：
void validate(float &res) {
if (res < 0) res = 0;
if (res > 1) res = 1;
if (isnan(res)) res = 0;
}
float Prob(cv::Mat &x) {
MatrixXf tmp = setData(x);
float res = 0;
MatrixXf tmp1 = (tmp - _mu);
MatrixXf tmp2 = tmp1 * _invsigma * tmp1.transpose();
res = _scale * tmp2(0, 0);
validate(res);
return res;
}
在高斯多变量分布中，协方差矩阵是正半定的，并且是对称的。可以通过 Cholesky 分解将协方差矩阵分解为一个下三角矩阵 L 与其转置的乘积。这样，可以简化计算过程，只计算 (L^(-1) * y) 并取其转置。
以下是使用 Cholesky 分解来计算概率密度的 C# 代码示例：
float Prob(cv::Mat &x) {
MatrixXf tmp = setData(x);
float res = 0;
MatrixXf tmp1 = (tmp - _mu).transpose();
tmp1 = _LI * tmp1;
MatrixXf tmp2 = tmp1.transpose() * tmp1;
res = tmp2(0, 0);
validate(res);
return res;
}