贝叶斯定理是统计学中一个重要的概念，它允许根据已知的某些条件来计算一个事件的概率。在本文中，将通过一个具体的例子来演示如何使用贝叶斯定理来计算依赖事件的概率。首先，让回顾一下贝叶斯定理的数学表达式：
P(A|X) = [P(X|A) * P(A)] / P(X) = [P(X|A) * P(A)] / [P(X|A) * P(A) + P(X | ~A) * P(~A)]
在这个公式中，A和X代表两个事件，P(A)和P(X)分别表示不考虑其他事件的情况下，事件A和事件X发生的概率。P(A|X)是一个条件概率，表示在事件X发生的条件下，事件A发生的概率。P(X|A)表示在事件A发生的条件下，事件X发生的概率。
假设想要知道在测试结果为阳性的情况下，患有乳腺癌的概率。即，事件A为患有乳腺癌，事件X为测试结果为阳性。为了计算这个概率，需要使用以下数据：
{
"_id": ObjectId("56a92adab2326d187c099531"),
"patientName": "cxb yyy",
"mammogramResult": 0,
"diagnosedBefore": 0
}
{
"_id": ObjectId("56a92adab2326d187c09953d"),
"patientName": "pxx yyy",
"mammogramResult": 0,
"diagnosedBefore": 1
}
{
"_id": ObjectId("56a92adab2326d187c099540"),
"patientName": "sxx yyy",
"mammogramResult": 1,
"diagnosedBefore": 0
}
{
"_id": ObjectId("56aa4cda358f09b19d447bab"),
"patientName": "fxx rrr",
"mammogramResult": 1,
"diagnosedBefore": 1
}
根据设备制造商的规格说明，可以得知以下信息：80%的乳房X光检查能在存在乳腺癌时检测到（因此有20%的漏检率），9.6%的乳房X光检查在没有乳腺癌时检测到（因此有90.4%的正确阴性结果率）。想要知道的是，在乳房X光检查结果为阳性的情况下，患有乳腺癌的概率。
让定义以下变量： A: 患有乳腺癌的事件 X: 乳房X光检查结果为阳性的事件 P(X): 乳房X光检查结果为阳性的概率 P(A): 患有乳腺癌的概率 P(A|X): 在乳房X光检查结果为阳性的情况下，患有乳腺癌的概率 P(X|A): 在患有乳腺癌的情况下，乳房X光检查结果为阳性的概率
根据乳房X光检查的规格，可以得到以下数据： 乳房X光检查真阳性结果 = 80% 乳房X光检查假阳性结果 = 20% 乳房X光检查真阴性结果 = 94% 乳房X光检查假阴性结果 = 9.6%
接下来，将使用C#语言来聚合样本数据。首先，需要连接到MongoDB数据库，并获取调查数据：
var connectionString = "mongodb://localhost:27017";
var client = new MongoClient(connectionString);
var db = client.GetDatabase("bayesdb");
var col = db.GetCollection("survey");
var surveyList = await col.Find(new BsonDocument()).ToListAsync();
然后，需要计算出患有乳腺癌的人数，以及测试结果为阳性和阴性的人数。可以使用聚合操作来实现这一点：
var previousDiagnosis = col.Aggregate()
.Group(new BsonDocument { { "_id", "$diagnosedBefore" }, { "count", new BsonDocument("$sum", 1) } });
var results = await previousDiagnosis.ToListAsync();
var mammogramTestResults = await col.Aggregate()
.Group(new BsonDocument { { "_id", "$mammogramResult" }, { "count", new BsonDocument("$sum", 1) } }).ToListAsync();
根据调查数据，可以计算出以下参数： P(A): 患有乳腺癌的概率
var PreviousDiagnosisPositive = previousDiagnosis.First();
int PositiveCount = (int)PreviousDiagnosisPositive["count"];
double PrA = (double)PositiveCount / totalSurveyCount;
P(~A): 不患有乳腺癌的概率 = 1 - P(A)
var PrXA = mammogramConstants.mammogramTP * PrA;
P(X|A): 在患有乳腺癌的情况下，乳房X光检查结果为阳性的概率
var PrXnA = mammogramConstants.mammogramFP * PrnA;
P(X|~A): 在不患有乳腺癌的情况下，乳房X光检查结果为阳性的概率（假阳性的概率）
var PrX = PrXA + PrXnA;
P(X): 得到任何阳性结果的概率（真阳性 + 假阳性）
最后，可以计算出在乳房X光检查结果为阳性的情况下，患有乳腺癌的概率：
var PrAX = (double)(mammogramConstants.mammogramTP * PrA) / PrX;