在进行浮点运算时，计算结果的准确性是一个重要的考量。区间算术提供了一种方法来评估和保证计算的准确性。它通过将单个浮点数替换为包含该值的数值范围来实现这一点。例如，使用米制卷尺测量一个3米乘4米的房间可能会得到精确到0.5厘米的结果，这可以表示为[2.995, 3.005]乘以[3.995, 4.005]。区间算术的任何操作都以一种保持这种属性的方式执行。例如，区间的加法([a_inf, a_sup], [b_inf, b_sup])将得到[a_inf + b_inf, a_sup + b_sup]。
区间算术的基本思想是对每个操作执行两次——一次在“舍入到负无穷大”(RD)模式下，一次在“舍入到正无穷大”(RU)模式下。虽然这种方法保证有效，但它有以下缺点：每次操作都需要三次改变舍入模式——到RU，到RD，然后回到默认模式（通常是“舍入到最近”或RN）。在大多数现代处理器上，这些切换非常昂贵。例如，在最新的Intel处理器上，读取SSE舍入模式是昂贵的，而设置它是一个序列化操作！
对于某些操作，一种有效的方法是利用RD(a) == -RU(-a)的事实。为了做到这一点，将区间存储为[-a, b]而不是[a, b]。很明显，加法/减法可以直接使用RU执行，而乘法和除法可能需要一些额外的符号位翻转。这种方法的优点是：每次操作只需要两次舍入模式切换；允许使用SIMD指令进行加法/减法。然而，它不能普遍使用。例如，sqrt(-a) == NaN，而不是-sqrt(a)。
区间算术的问题归结为选择问题。给定一个无限精确的结果A作为其中一个界限，如果要计算区间的下界，需要向下舍入，或者如果要计算区间的上界，需要向上舍入。发现这个信息是可用的。此外，为了使这个工作，需要使用“舍入到最近”模式。
给定两个浮点数a和b，可以按照以下方式计算精确变换：
TwoSum() - (a, b)被转换为(s,e)，使得s = RN(a + b)和e = a + b - s
s = RN(a + b)
a' = RN(s - b)
b' = RN(s - a')
da = RN(a - a')
db = RN(b - b')
e = RN(da + db)
TwoSum()算法需要6次浮点运算。
TwoProd - (a, b)被转换为(p, e)，使得p = RN(a * b)和e = a * b - p
Split(x, n)需要C = 2^n + 1，其中n = (mantissa的位数 + 1)/2
t1 = RN(C * x)
t2 = RN(x - t1)
xh = RN(t1 + t2)
xl = RN(x - xh)
TwoProd(x, y)
(xh, xl) = Split(x, s)
(yh, yl) = Split(y, s)
p = RN(x * y)
t1 = RN(-p + RN(xh * yh))
t2 = RN(t1 + RN(xh * yl))
t3 = RN(t2 + RN(xl * yh))
e = RN(t3 + RN(xl * yl))
TwoProd()算法需要17次浮点运算。
如果e是负数，那么RN(a + b) == RU(a + b)，RD(a + b) == prev(s)。如果e是正数，那么RN(a + b) == RD(a + b)，RU(a + b) == succ(s)。TwoProd()也有类似的论证。
TwoSum()和TwoProd()过程足以执行区间加法/减法和乘法。如果存在fma()操作（在IEEE 754-2008下是强制性的），可以计算以下函数：
TwoProdFMA(a, b)
p = RN(a * b)
e = fma(a, b, -p)
TwoProdFMA()算法执行TwoProd()，但只需要2次浮点运算，而不是17次。
Division() - q = RN(a / b); r = -fma(q, b, -a)
Reciprocal() - q = RN(1.0 / b); r = -fma(q, b, -1.0)
Sqrt() - q = RN(sqrt(a)); r = -fma(q, q, -a)
如果r是负数，那么结果 = RN(A) == RU(A)，RD(A) == prev(result)。如果r是正数，那么结果 = RN(A) == RD(A)，RU(A) == succ(result)。
注意：prev(x)和succ(x)由IEEE Std 754要求，并且在C++ 2011中作为std::nextafter()实现。如果硬件中没有fma()操作，可以使用TwoProd()和TwoSum()操作在软件中模拟。这需要总共35次浮点运算——17次用于TwoProd()，18次用于所需的3次TwoSum()操作。
测试了以下C++实现的区间算术：
“基本”区间算术——根据需要设置RU、RD和默认舍入模式
“RU”区间算术——将[a, b]存储为[-a, b]，消除了在许多情况下将舍入模式设置为RD的要求。
“舍入到最近”区间算术——实现了本文中定义的算法。
在所有情况下，如果可用且有用，都使用了SIMD指令。
测试涉及1亿次操作，使用随机操作数，如下所示：
加法
乘法
除法（分母的区间不包括0.0）
平方sqr(x) = (x*x)
平方根
hypot(x, y) = sqrt(sqr(x), sqr(y))。
选择hypot()函数是因为它包括加法（可以通过RU方法优化），平方（也可以通过RU方法优化），以及平方根（只能通过“舍入到最近”方法优化）。它也可以很容易地用简单的C++代码计算。
代码使用Visual Studio 2013在x64 Release模式下编译，使用/fp:strict编译器选项。注意，如果需要获得准确的结果，使用这个选项是必要的。
在Intel Core i7 2670QM处理器上的测试结果（以每次操作的纳秒数表示）如下：
| 操作 | 基本 | RU | 舍入到最近 |
|---|---|---|---|
| 加法 | 104 | 79 | 25 |
| 乘法 | 230 | 194 | 61 |
| 除法 | 280 | 217 | 94 |
| 平方 | 238 | 185 | 42 |
| 平方根 | 139 | 83 | 44 |
| hypot() | 804 | 702 | 173 |
注意：时间是在减去循环开销和生成随机输入所需的时间后给出的。与最新的Intel处理器不同，这个2670QM处理器没有硬件中的fma()，并且必须在软件中模拟它。这显著降低了“舍入到最近”方法在乘法、除法、平方和平方根操作中的优势。
使用舍入到最近模式的区间算术库是可行的，并且在当前流行的硬件上——比定向舍入方法快3倍以上。
目前正在开发一个区间数学包，它将包括IEEE-1788标准为区间算术所需的大部分前向函数。
IEEE Std 754-2008
IEEE Std 1788-2015
《浮点数运算手册》，Jean-Michel Muller等人，Birkhäuser