椭圆曲线加密（Elliptic Curve Cryptography, ECC）是一种数据加密技术，它与传统的加密方法如RSA相比，能够在更短的密钥长度下达到相同或更高的安全强度。椭圆曲线本身并不是复杂的科学，但大量的文章和数学背景知识可能会让初学者感到难以理解。本文旨在通过简洁明了的代码示例，帮助读者理解椭圆曲线的编码实现，并展示如何在C++中使用椭圆曲线进行消息加密和解密。
要理解椭圆曲线加密，首先需要了解椭圆曲线的基本概念。Certicom的椭圆曲线教程是学习椭圆曲线数学原理的好地方。它解释了椭圆曲线背后的数学原理，以及椭圆曲线在有限域上的应用，即在整数模某个整数（通常选择一个质数，以确保通过乘法或加法生成的整数序列的周期足够长）上的应用。
其次，需要深入理解有限域是如何工作的。例如，在有限域中找到一个数的模逆并不是一件容易的事情。由于这是代码中非常基础且频繁使用的操作，将在这里概述如何找到模逆。
给定一个有限域Fp，其中p是一个质数（或更具体地说，是一个质数的幂），a和b是Fp的元素，如果(a * b) mod p == 1，则a是b的模逆。这在数学上是有意义的，因为如果a * b == 1，那么a就是b的逆，即a = 1/b。
要找到a，给定b和p，需要使用“最大公约数”（GCD），它返回小于（或等于）a（或b）的最大整数，这个整数能够同时整除a和b。如果这个整数是1，那么a和b是互质的，因为只有1能够同时整除它们。现在，给定a和b和p，如果b（正在寻找的逆）和p是互质的，那么就可以找到逆。这也说得通，因为如果b和p是互质的，总是可以写出：b*u + p*v == 1，因为GCD(b,p) == 1只有在b和p有这种关系时才成立。如果p是一个实际的质数，那么b总是有模p的逆的……
由于几乎所有现代加密方案都以某种方式使用质数和模运算，因此学习这些基础知识是有益的。
希望代码是相当直观的。它是使用DevCpp、MinGW和GCC版本3.4.2开发的，但尚未在其他编译器上测试。虽然喜欢C++，但没有使用任何可能导致“ANSI兼容性”问题的东西，但如果发现了什么，请告诉。
要开始，请查看main.cpp底部的int main(...)。FiniteFieldElement.hpp是实现使用普通整数进行模运算的头文件。
警告：不得不调整负数的模运算，假设（因为ANSI标准没有明确说明）它可能在其他编译器上有所不同。只是提醒一下，如果有什么看起来不对，那可能就是原因！此外：这是使用标准的机器整数实现的，没有特殊的大整数支持。
示例中加密的消息来自Alice，是"1972"，所以如果一切运行正常，应该看到Bob解密的消息就是这个。
实现这个非常有趣，尤其是当它工作的时候。鼓励任何人扩展椭圆曲线的实现，以确保对这些强大的数学实体的理解和知识尽可能广泛地传播。安全永远不嫌多。
第一版是在不太晴朗的法国南部的圣诞节期间编写的。
#include "FiniteFieldElement.hpp"
int main() {
// 初始化椭圆曲线参数
EllipticCurve curve("P-256");
curve.initialize();
// 生成Alice和Bob的公钥和私钥
PrivateKey alicePrivateKey = PrivateKey::generate(curve);
PublicKey alicePublicKey = alicePrivateKey.publicKey();
PrivateKey bobPrivateKey = PrivateKey::generate(curve);
PublicKey bobPublicKey = bobPrivateKey.publicKey();
// Alice加密消息
std::string message = "1972";
EncryptedMessage encryptedMessage = alicePrivateKey.encrypt(message);
// Bob解密消息
std::string decryptedMessage = bobPrivateKey.decrypt(encryptedMessage);
// 打印解密后的消息
std::cout << "Decrypted message: " << decryptedMessage << std::endl;
return 0;
}